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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第八課時 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 熟練運用同角三角函數(shù)化簡三角函數(shù)式，活用同角三角函數(shù)關(guān)系證明三角恒等式，明確化簡結(jié)果的要求，掌握證明恒等的方法；通過化簡與證明，使學(xué)生提高三角恒等變形的能力，樹立化歸的思想方法. 教學(xué)重點： 三角函數(shù)式的化簡，三角恒等式的證明. 教學(xué)難點： 同角三角函數(shù)關(guān)系的變用、活用. 教學(xué)過程： ［例1］化簡 法一：原式＝ ＝＝ 法二：原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝ 法三：原式＝ ＝ ＝＝＝ ①以上三種解法雖思路不同，但都應(yīng)用了公式sin2α+cos2α＝1,其中生2、3是順用公式，1是逆用公式，顯然1的解法簡單明了.②在1的解法中逆用公式sin2α＋cos2α＝1，實質(zhì)是“1”的一種三角代換“1＝sin2α＋cos2α”. 對于利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡時，其結(jié)果一般要求：①函數(shù)種類少；②式子項數(shù)少；③項的次數(shù)低；④盡量使分母或根號內(nèi)不含三角函數(shù)式；⑤盡可能求出數(shù)值（不能查表））. ［例2］求證＝ 證法一：由cosx≠0知1＋sinx≠0，于是 左＝＝＝＝＝右 證法二：由1－sinx≠0，cosx≠0于是 右＝＝＝＝＝左 證法三：左－右＝－＝ ＝＝＝0 ∴＝ 證法四：(分析法) 欲證＝ 只須證cos2x＝（1＋sinx）（1－sinx） 只須證cos2x＝1－sin2x 只須證sin2x＋cos2x＝1 ∵上式成立是顯然的，∴＝成立 分析法證題的思路是“執(zhí)果索因”：從結(jié)論出發(fā)，逐步逆推，推出一個真命題或者推出的 與已知一致，從而肯定原式成立.要注意論證格式 Ⅲ.課堂練習(xí) 已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求tanθ的值. 分析：依據(jù)已知條件sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求得2sinθcosθ的值，進而求得sinθ－cosθ的值，結(jié)合sinθ、cosθ的值再求得tanθ即可. 解：∵sinθ＋cosθ＝，(1) 將其平方得，1＋2sinθcosθ＝ ∴2sinθcosθ＝－， ∵θ∈(0，π) ∴cosθ＜0＜sinθ ∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝ ∴sinθ－cosθ＝ (2) 由（1）（2）得 sinθ＝，cosθ＝－， ∴tanθ＝－ Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課我們討論了同角三角函數(shù)關(guān)系式的兩個方面的應(yīng)用：化簡與證明，與同學(xué)們討論了化簡的一般要求，證明恒等的常用方法，對于化簡與證明另外還應(yīng)注意兩種技巧：一種是切化弦”，一種是“1”的代換，“1”的代換不要僅限于平方關(guān)系的代換，還要注意倒數(shù)關(guān)系的代換，究竟用哪一種，要由具體問題來決定. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P24習(xí)題 10、11、12. 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用 1．式子sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的結(jié)果是 （ ） A. B. C. D.1 2．已知tanθ＝ (其中0＜a＜1，θ是三角形的一個內(nèi)角)，則cosθ的值是 （ ） A. B. C. D. 3．若sinα＝，cosα＝，＜α＜π，則a的值滿足 （ ） A.a＝0 B.a＞3或a＜－5 C.a＝8 D.a＝0或a＝8 4．化簡的結(jié)果為 （ ） A.cos4 B.－cos4 C.cos4 D.cos22 5．已知sinα＝，且α為第二象限角，那么tanα＝ 6．已知sinαcosα＝，且<α<，則cosα－sinα的值為 7．若tanα＝,π<α<π，則sinαcosα＝ 8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范圍. 9．化簡：－. 10．求證：tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ. 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用答案 1．D 2．C 3．C 4．B 5．－ 6．－ 7． 8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范圍. 分析：依據(jù)已知條件得cosβ≤0，sinβ≥0，利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式求解. 解：∵＋ ＝＋＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ ∴sinβ≥0，cosβ≤0 ∴β是第二象限角或終邊在x軸負半軸和y軸正半軸上的角 ∵0≤β≤2π ∴≤β≤π 9．化簡：－. 原式＝－ ＝＝sinx＋cosx 10．求證：tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ. 左邊＝tan2θ－sin2θ＝－sin2θ ＝sin2θ＝sin2θ＝sin2θtan2θ＝右邊