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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十二課時 1.9最小二乘法教案 北師大版必修3 一、教學(xué)目標：經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 二、教學(xué)重難點：重點：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助電子表格求出回歸方程。 教學(xué)內(nèi)容的難點：對最小二乘法的數(shù)學(xué)思想和回歸方程的理解 教學(xué)實施過程中的難點：根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。 三、教學(xué)方法：動手操作，合作交流。 四、教學(xué)過程： (一)、利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式。 回顧上節(jié)課：師：我們現(xiàn)在來求距離和。怎么求？ 生：利用點到直線的距離公式 師生共同：只要求出使距離和最小的、b即可。但是，我們知道點到直線的距離公式計算復(fù)雜。怎么辦呢？以樣本數(shù)據(jù)點A為例， 可以看出： 在△ABC中，（教師動畫演示） 按照一對一的關(guān)系，直角邊AC越小，斜邊AB越小， 當(dāng)AC無限小時，AB跟AC可近似看作相等。 求麻煩，不妨求生： 師：它表示自變量x取值一定時，縱坐標的偏差。假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：……。當(dāng)自變量取（=1，2，……，n）時，可以得到（=1，2，……，n），它與實際收集到的之間的偏差是 （=1，2，……，n） 這樣用n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的。總的偏差為，偏差有正有負，易抵消，所以采用絕對值，由于帶絕對值計算不方便所以換成平方，現(xiàn)在的問題就歸結(jié)為：當(dāng)，b取什么值時Q最小。 將上式展開、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值時 （其中，）推導(dǎo)過程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以這種使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，最小二乘法的思想是本節(jié)課的教學(xué)難點，先讓學(xué)生動手操作畫回歸直線，教師動畫演示，進一步演繹推理來分解難點、突破難點 （二）、直線回歸方程的應(yīng)用 （1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系 （2）利用回歸方程進行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進行估計，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。 （3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。 應(yīng)用直線回歸的注意事項：（1）做回歸分析要有實際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。 （四）、實例分析： 某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費用支出（）與公司所獲得利潤（）的統(tǒng)計資料如下表： 科研費用支出（）與利潤（）統(tǒng)計表 單位：萬元 年份 科研費用支出 利潤 xx xx xx xx xx xx 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 合計 30 180 要求估計利潤（）對科研費用支出（）的線性回歸模型。 解：設(shè)線性回歸模型直線方程為：因為： 根據(jù)資料列表計算如下表： 年份 xx xx xx xx xx xx 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 155 440 120 170 75 40 25 121 16 25 9 4 0 6 -1 0 -2 -3 1 10 0 4-5 -10 0 36 1 0 4 9 0 60 0 0 10 30 合計 30 180 1000 200 0 0 50 100 現(xiàn)利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解參數(shù)的估計值： 所以：利潤（）對科研費用支出（）的線性回歸模型直線方程為： 求直線回歸方程，相關(guān)系數(shù)和作圖,這些EXCEL可以方便地做到。仍以上題的數(shù)據(jù)為例。于 EXCEL表 中的空白區(qū)，選用"插入"菜單命令中的"圖表"，選中 XY散 點圖類型，在彈出的圖表向?qū)е邪聪驅(qū)У囊笠徊揭徊降?操作，如有錯誤可以返回去重來或在以后修改。適當(dāng)修飾 圖的大小、縱橫比例、字體大小、和圖符的大小等，使圖 美觀，最后得到圖1，圖中有直線稱為趨勢線，還有直線方程和相關(guān)系數(shù)。圖中的每一個部份如坐標、標題、圖例 等都可以分別修飾，這里主要介紹趨勢線和直線方程。 圖1散點圖 　　鼠標右鍵點擊圖中的數(shù)據(jù)點，出現(xiàn)一個對話框，選 " 添加趨勢線" ，圖中自動畫上一條直線，再以鼠標右擊此線，出現(xiàn)趨勢線格式對話框，選擇線條的粗細和顏色，在選項中選取顯示公式和顯示R 平方值，確定后即在圖中顯示回歸方程和相關(guān)系數(shù)。 （五）、課堂練習(xí)：第83頁，練習(xí)A,練習(xí)B (六)、小結(jié)：經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 （七）、課后作業(yè)：第84頁，習(xí)題2-3A第1、2題, 五、教后反思：