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2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.3變量間的相關(guān)關(guān)系教案新人教版必修3 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)主要是使用TI92圖形計(jì)算器，對(duì)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)③第二章《統(tǒng)計(jì)》中的“兩個(gè)變量的線性相關(guān)”進(jìn)行有益的教與學(xué)探究。學(xué)生通過(guò)對(duì) TI圖形計(jì)算器的操作，具體形象地利用散點(diǎn)圖等直觀圖形認(rèn)識(shí)變量之間的相關(guān)關(guān)系，同時(shí)，經(jīng)歷描述兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的過(guò)程。學(xué)生親自體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的全過(guò)程。與此同時(shí)，教師在落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)理念上作了一些有益的探討。 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐： [教學(xué)目標(biāo)]： 1、 明確事物間的相互聯(lián)系。認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)這種相關(guān)關(guān)系。 2、 通過(guò)TI技術(shù)探究用不同的估算方法描述兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系的過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的有關(guān)變量來(lái)描述現(xiàn)實(shí)關(guān)系。 3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推導(dǎo)。會(huì)用TI圖形計(jì)算器來(lái)求回歸方程，相關(guān)系數(shù)。 [教學(xué)用具]： 學(xué)生每人一臺(tái)TI圖形計(jì)算器、多媒體展示臺(tái)、幻燈 [教學(xué)實(shí)踐情況]： 一、 問(wèn)題引出：請(qǐng)同學(xué)們?nèi)鐚?shí)填寫下表（在空格中打“√” ） 好 中 差 你的數(shù)學(xué)成績(jī) 你的物理成績(jī) 然后回答如下問(wèn)題：①“你的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)你的物理成績(jī)有無(wú)影響？”②“ 如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理成績(jī)也不會(huì)太差，如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)差，那么你的物理成績(jī)也不會(huì)太好?！睂?duì)你來(lái)說(shuō)，是這樣嗎？同意這種說(shuō)法的同學(xué)請(qǐng)舉手。 根據(jù)同學(xué)們回答的結(jié)果，讓學(xué)生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)存在某種關(guān)系。（似乎就是數(shù)學(xué)好的，物理也好；數(shù)學(xué)差的，物理也差，但又不全對(duì)。）教師總結(jié)如下： 物理成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)是兩個(gè)變量，從經(jīng)驗(yàn)看，由于物理學(xué)習(xí)要用到比較多的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)成績(jī)的高低對(duì)物理成績(jī)的高低是有一定影響的。但決非唯一因素，還有其它因素，如圖所示（幻燈片給出）： （影響你的物理成績(jī)的關(guān)系圖） 因此，不能通過(guò)一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄋ奈锢沓煽?jī)能達(dá)到多少。但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系。如何通過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)的結(jié)果對(duì)物理成績(jī)進(jìn)行合理估計(jì)有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。 二、 引出相關(guān)關(guān)系的概念 教師提問(wèn)：“像剛才這種情況在現(xiàn)實(shí)生活中是否還有？” 學(xué)生甲：糧食產(chǎn)量與施肥用量的關(guān)系； 學(xué)生乙：人的體重與食肉數(shù)量的關(guān)系。 …… 從而得出：兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系（如：函數(shù)關(guān)系），或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。 三、探究線性相關(guān)關(guān)系和其他相關(guān)關(guān)系 問(wèn)題：在一次對(duì)人體脂肪和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 人體的脂肪百分比和年齡 年齡 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29．6 30．2 31．4 30．8 33．5 35．2 34．6 針對(duì)于上述數(shù)據(jù)所提供的信息，你認(rèn)為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？教師特別向?qū)W生強(qiáng)調(diào)在研究?jī)蓚€(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手（向?qū)W生介紹什么是散點(diǎn)圖）。并且引導(dǎo)學(xué)生從散點(diǎn)圖上可以得出如下規(guī)律：（幻燈片給出） 1、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，那么變量之間具有函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）； 2、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線的附近，那么變量之間具有相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）； 3、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）。 下面我們用TI圖形計(jì)算器作出這兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖。 學(xué)生實(shí)驗(yàn)：先把數(shù)據(jù)中成對(duì)出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)分別作為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，把數(shù)據(jù)輸入到表格當(dāng)中（第一列橫坐標(biāo)、第二列縱坐標(biāo)）得到圖1；然后，用TI圖形計(jì)算器作散點(diǎn)圖得圖2： （圖1） （圖2） 引導(dǎo)學(xué)生觀察作出的散點(diǎn)圖，體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量之間的關(guān)系存在著不確定性。散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)并不在一條直線上，只是分布在一條直線的周圍，即為線性相關(guān)關(guān)系。 給出三組數(shù)據(jù)（表1-3），請(qǐng)學(xué)生作出散點(diǎn)圖，并觀察每組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。 表1： -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 表2 ： -12 -9 -5 -4 -3 -1 0 2 4 6 9 13 120 100 20 12 6 2 0 3.5 23 27 70 150 表3： -9 -7 -5 -4 -2 -1 0 1 3 5 7 9 1/560 1/100 1/30 1/18 1/5 9/10 10/11 3 9 28 100 550 表4： -13 -11 -9 -7 -5 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 92 55 31 15 6 5 9 12 19 30 50 70 88 根據(jù)表1-4，學(xué)生作出如下散點(diǎn)圖，（圖3、圖4、圖5、圖6）： 　　　　　　　 （圖3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （圖4） 　　　　　　　　 （圖5）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （圖6） 通過(guò)學(xué)生討論、交流、用TI圖形計(jì)算器展示、對(duì)比自己作出的散點(diǎn)圖，我們引出線性相關(guān)關(guān)系，正負(fù)相關(guān)關(guān)系的概念。 四、引出回歸直線的概念，探索求回歸直線方程的方法 再看圖2，你能說(shuō)說(shuō)人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量大約是多少嗎？ 通過(guò)用TI圖形計(jì)算器圖象，猜想：所有的點(diǎn)都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量。如圖7，從整體上看，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”。 （圖7） 注：“回歸”這個(gè)詞是有英國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Francils Galton 提出來(lái)的。1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒(méi)有他們的父母平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們的父母平均身高高。Galton 把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢(shì)稱為“回歸現(xiàn)象”。后來(lái)，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱為“回歸方法”。 那么如何求回歸直線方程呢？人們?cè)谒伎歼@個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，常用以下3種方法： 1、采用測(cè)量的方法，先畫一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。 2、在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。 3、在散點(diǎn)圖中多取幾個(gè)點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。 上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺(jué)到可靠性不強(qiáng)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，科學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究后于是得出了如下方法：求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫“從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離和最小”?，F(xiàn)在，我們來(lái)看一下數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問(wèn)題的思維過(guò)程吧。 設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)：，所要求的回歸直線方程為：，其中，是待定的系數(shù)。當(dāng)變量取時(shí)，可以得到。求的最小值，其步驟為： 最后，指導(dǎo)學(xué)生直接利用TI圖形計(jì)算器，計(jì)算人的脂肪含量與年齡這一問(wèn)題。得到圖8： （圖8） 五、相關(guān)系數(shù)及其含義 從圖象和回歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關(guān)關(guān)系，那么人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量？這就是相關(guān)強(qiáng)弱的問(wèn)題。如何解決這一問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們引進(jìn)相關(guān)系數(shù)這一概念，用相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱。若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測(cè)值為， 則兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為： 相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱給出具體的判斷標(biāo)準(zhǔn)：首先的符號(hào)決定正、負(fù)相關(guān)關(guān)系；當(dāng)時(shí)，相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)；當(dāng)時(shí)，相關(guān)關(guān)系一般；此外，相關(guān)關(guān)系很弱或者幾乎不能用線性相關(guān)來(lái)描述。TI圖形計(jì)算器結(jié)果中出現(xiàn)的就是相關(guān)系數(shù)，就是。 通過(guò)計(jì)算，我們得到探究問(wèn)題中的（如圖8所示），所以我們說(shuō)人的脂肪含量與人的年齡正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。 最后，我們得到問(wèn)題的主要結(jié)論： 1、 人體的脂肪與年齡之間是線性相關(guān)關(guān)系，而且正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)（ ）。 2、這種相關(guān)關(guān)系可以用回歸方程：來(lái)刻畫。 3、人在62、63、64歲時(shí)，人體的脂肪含量百分比大約為：35.26、35.84、36.42。 [效果與回收]： 一、課外實(shí)踐：（用TI圖形計(jì)算器等工具完成下列問(wèn)題） 1、一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下： 零件(個(gè)數(shù)) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時(shí)間（min） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)、畫出散點(diǎn)圖； (2)、求回歸方程； (3)、關(guān)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間，你能得出什么結(jié)論？ 2、某機(jī)構(gòu)曾研究對(duì)翻車魚的影響。在一定溫度下，經(jīng)單位時(shí)間，翻車魚的存活的比例為，數(shù)據(jù)如下： (0.10,1.00), (0.15,0.95), (0.20,0.95), (0.25,0.90), (0.30,0.85), (0.35,0.70), (0.40,0.65), (0.45,0.60), (0.50,0.55), (0.55,0.40). (1)、請(qǐng)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)、關(guān)于這兩個(gè)變量的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？ 3、經(jīng)過(guò)抽樣，我校的部分學(xué)生的第二次段考語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢? 語(yǔ)文 56 60 66 70 93 102 112 115 119 120 122 126 數(shù)學(xué) 99 55 49 124 138 100 86 91 70 110 99 82 (1)、請(qǐng)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)、關(guān)于學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)之間的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？ 二、學(xué)生完成情況綜述 （1）、正確的作圖與結(jié)論： ①第1題解答： （圖9） （圖10） 結(jié)論： 1、散點(diǎn)圖如上圖9所示（已經(jīng)添加了回歸直線）。 2、回歸方程：。 3、通過(guò)觀察圖9可知：加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間之間是線性相關(guān)關(guān)系。因?yàn)?，相關(guān)系數(shù)是：，所以，正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。 ②第2題解答： （圖11） （圖12） 結(jié)論： 1、散點(diǎn)圖如上圖11所示（已經(jīng)添加了回歸直線）。 2、回歸方程：。 3、通過(guò)觀察圖11可知：翻車魚的存活的比例與單位時(shí)間之間是線性相關(guān)關(guān)系。因?yàn)?，相關(guān)系數(shù)是：，所以，負(fù)相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。 ③第3題解答： （圖13） （圖14） 結(jié)論： 1、散點(diǎn)圖如上圖13所示。 2、通過(guò)觀察圖13可知：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)之間的關(guān)系是不確定關(guān)系。因?yàn)?，相關(guān)系數(shù)是：，所以，相關(guān)關(guān)系很弱，幾乎沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系。 （2）、作圖中存在的錯(cuò)誤與不足： （圖15） （圖16） （圖17）（圖18） 以上的兩個(gè)圖形的錯(cuò)誤或不足之處分別在于： ①出現(xiàn)圖15 的現(xiàn)象，是因?yàn)閳D象顯示的窗口沒(méi)有調(diào)整到最合適窗口。 ②出現(xiàn)圖16的現(xiàn)象，是因?yàn)樵谇蠡貧w直線方程過(guò)程中，按錯(cuò)了鍵，以致求出的是中位數(shù)回歸方程。 ③出現(xiàn)圖17、18的現(xiàn)象，是因?yàn)樵谇蠡貧w直線方程過(guò)程中，把數(shù)組中的的順序顛倒了。雖然圖17與圖9很相近，但是，實(shí)質(zhì)上是錯(cuò)誤的作圖，這一點(diǎn)可以從求出的回歸方程（圖18）：與正確的方程：相比較得到證實(shí)。