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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法》第2課時教案 新人教A版必修5 高二數(shù)學(xué)（必修5） 教學(xué)案 主備人： 執(zhí)教者： 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同； 2.會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項. 【學(xué)習(xí)重點】根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項. 【學(xué)習(xí)難點】理解遞推公式與通項公式的關(guān)系. 【授課類型】新授課 【教 具】多媒體電腦、實物投影儀、電子白板 【學(xué)習(xí)方法】誘思探究法 【學(xué)習(xí)過程】 一、復(fù)習(xí)引入： 師 同學(xué)們，昨天我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項公式的意義等內(nèi)容，哪位同學(xué)能談一談什么叫數(shù)列的通項公式？ 生 如果數(shù)列{an}的第n項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 師 你能舉例說明嗎？ 生 如數(shù)列0，1，2，3，…的通項公式為an=n-1(n∈N*); 1,1,1的通項公式為an=1(n∈N*,1≤n≤3); 1, , , ,…的通項公式為an= (n∈N*). ［合作探究］ 數(shù)列的表示方法 師 通項公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學(xué)們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？ 生 圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項數(shù)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項an為縱坐標(biāo)，即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(以前面提到的數(shù)列1, ,,,…為例，作出一個數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點都在y軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢. 師 說得很好，還有其他的方法嗎？ 生 …… 師 下面我們來介紹數(shù)列的另一種表示方法：遞推公式法 知識都來源于實踐，同時還要應(yīng)用于生活，用其來解決一些實際問題.下面同學(xué)們來看右下圖：鋼管堆放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學(xué)模型. 生 模型一：自上而下 第1層鋼管數(shù)為4,即14＝1+3; 第2層鋼管數(shù)為5,即25＝2+3; 第3層鋼管數(shù)為6,即36＝3+3; 第4層鋼管數(shù)為7,即47＝4+3; 第5層鋼管數(shù)為8,即58＝5+3; 第6層鋼管數(shù)為9,即69＝6+3; 第7層鋼管數(shù)為10,即710＝7+3. 若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an=n+3(1≤n≤7). 師 同學(xué)們運用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便.讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律) 生 模型二：上下層之間的關(guān)系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1, 即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1. 依此類推：an=a n-1+1(2≤n≤7). 師 對于上述所求關(guān)系，同學(xué)們有什么樣的理解? 生 若知其第1項，就可以求出第二項，以此類推，即可求出其他項. 師 看來，這一關(guān)系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式. 二、新課學(xué)習(xí)： 1.遞推公式定義： 如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an-1(或前n項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式. 注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法. 如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89. 遞推公式為：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8). 2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、圖象法、解析式法.相對于數(shù)列來說也有相應(yīng)的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析式法. 三、 特例示范 【例1】 設(shè)數(shù)列{an}滿足.寫出這個數(shù)列的前五項. 師 分析：題中已給出{an}的第1項即a1=1，題目要求寫出這個數(shù)列的前五項，因而只要再求出二到五項即可.這個遞推公式：an=1+我們將如何應(yīng)用呢? 生 這要將n的值2和a1=1代入這個遞推公式計算就可求出第二項，然后依次這樣進行就可以了. 師 掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點就是其中的遞推關(guān)系，同學(xué)們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中的前項與后項，或前后幾項之間的關(guān)系. 【例2】 已知a1=2，an+1=2an，寫出前5項，并猜想an. 師 由例1的經(jīng)驗我們先求前5項. 生 前5項分別為2，4，8，16，32. 師 對，下面來猜想第n項. 生 由a1=2，a2=22=22，a3=222=23觀察可得，我猜想an=2n. ［教師精講］ (1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的. 例如，由數(shù)列{an}中的遞推公式an+1=2an+1無法寫出數(shù)列{an}中的任何一項，若又知a1=1，則可以依次地寫出a2=3,a3=7,a4=15,…. (2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項公式，也可能求不出通項公式. 四、當(dāng)堂練習(xí)： 學(xué)案2.1.2 五、 本節(jié)小結(jié)： 通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系.對于通項公式，只要將公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相應(yīng)的項.而遞推公式則要已知首項(或前n項)，才可求得其他的項. 六、作業(yè)布置: 課時作業(yè)3.1.2 個性設(shè)計 課后反思：