2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù)B.doc
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2019-2020 年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù) B 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.能畫出正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖像,借助圖像理解正弦函數(shù),余弦函數(shù)在,正 切函數(shù)在上的性質(zhì); 2.了解函數(shù)的實(shí)際意義,能畫出的圖像; 3.了解函數(shù)的周期性,體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. 已知簡諧運(yùn)動(dòng) ()2sin()(32fxx?????的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),則該簡諧運(yùn)動(dòng)的最小 正周期_____6____;初相__________. 2. 三角方程 2sin(- x)=1 的解集為_______________________. 3. 函數(shù) ),,0)(si RxAy???的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為 ______________________. 4. 要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向右平移__________個(gè)單位. 【范例解析】 例 1.已知函數(shù) ()2sin(cos)fxx??. (Ⅰ)用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象,長度為一個(gè)周期; (Ⅱ)說明 ()i()f 的圖像可由的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到. 分析:化為形式. 解:(I)由 xxxf 2sinco1sin2si)( ????? )4()4co4in21 ????? . 列表,取點(diǎn),描圖: 1 1 1 故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是: 第 3 題 (Ⅱ)解法一:把圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位,得到的圖像,再把的圖像上所有點(diǎn)的橫坐 標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變) ,得到的圖像,然后把的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的 倍(橫坐標(biāo)不變) ,得到的圖像,再將的圖像上所有點(diǎn)向上平移 1 個(gè)單位,即得到的圖像. 解法二:把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變) ,得到的圖像,再把圖像上 所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位,得到的圖像,然后把的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的倍(橫坐 標(biāo)不變) ,得到的圖像,再將的圖像上所有點(diǎn)向上平移 1 個(gè)單位,即得到的圖像. 例 2.已知正弦函數(shù)的圖像如右圖所示. (1)求此函數(shù)的解析式; (2)求與圖像關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的解析式; (3)作出函數(shù)的圖像的簡圖. 分析:識(shí)別圖像,抓住關(guān)鍵點(diǎn). 解:(1)由圖知, , , ,即. 將,代入,得,解得,即. (2)設(shè)函數(shù)圖像上任一點(diǎn)為,與它關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為, 得 8,. xy???????? 解得代入中,得. (3) 12()sin()2sin()2cos84848fxxxx??????,簡圖如圖所示. 點(diǎn)評(píng):由圖像求解析式,比較容易求解,困難的是待定系數(shù)求和,通常利用周期確定,代入 -2 2 x=8 x y O 2 4 x y O-4 12 最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求. 【反饋演練】 1.為了得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù),的圖像上所有的點(diǎn) ①向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變) ; ②向右平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變) ; ③向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 3 倍(縱坐標(biāo)不變) ; ④向右平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 3 倍(縱坐標(biāo)不變) . 其中,正確的序號(hào)有_____③______. 2.為了得到函數(shù)的圖象,可以將函數(shù)的圖象向右平移____個(gè)單位長度. 3.若函數(shù), (其中, )的最小正周期是,且,則__2____;__________. 4.在內(nèi),使成立的取值范圍為____________________. 5.下列函數(shù): ①; ②; ③; ④. 其中函數(shù)圖象的一部分如右圖所示的序號(hào)有_____④_____. 6.如圖,某地一天從 6 時(shí)至 14 時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù) (1)求這段時(shí)間的最大溫差; (2)寫出這段時(shí)間的函數(shù)解析式. 解:(1)由圖示,這段時(shí)間的最大溫差是℃ (2)圖中從 6 時(shí)到 14 時(shí)的圖象是函數(shù)的半個(gè)周期 ∴,解得 由圖示, 這時(shí), 將代入上式,可取 綜上,所求的解析式為 20)438sin(10???xy() 7.如圖,函數(shù) π2co) )>?????R, , ≤ ≤ 的圖象與軸相交于點(diǎn),且該函 數(shù)的最小正周期為. (1)求和的值; (2)已知點(diǎn),點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn), 當(dāng),時(shí),求的值. 解:(1)將,代入函數(shù)得, 因?yàn)?,所以?又因?yàn)樵摵瘮?shù)的最小正周期為,所以, 因此. (2)因?yàn)辄c(diǎn),是的中點(diǎn), , 第 6 題 第 5 題 A 第 7 題 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. 又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上,所以. 因?yàn)?,所以?從而得或. 即或. 第 6 課 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)(二) 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.理解三角函數(shù), ,的性質(zhì),進(jìn)一步學(xué)會(huì)研究形如函數(shù)的性質(zhì); 2.在解題中體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想方法,利用三角恒等變形轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)來研究. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.寫出下列函數(shù)的定義域: (1)的定義域是______________________________; (2)的定義域是____________________. 2.函數(shù) f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________. 3.函數(shù) 22sinsin44????( ) ( ) ( ) 的最小正周期是_______. 4. 函數(shù) y=sin(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)_______________對(duì)稱. 5. 已知函數(shù) 在(-, )內(nèi)是減函數(shù),則的取值范圍是______________. 【范例解析】 {63,}kkZ???? (,0) 例 1.求下列函數(shù)的定義域: (1) ;(2) . 解:(1) ,2tan0si1.xk???????? 即 ,27.66xkk????????? , 故函數(shù)的定義域?yàn)?{22xkx???且 (2)即 04,.2kx???????? 故函數(shù)的定義域?yàn)椋?點(diǎn)評(píng):由幾個(gè)函數(shù)的和構(gòu)成的函數(shù),其定義域是每一個(gè)函數(shù)定義域的交集;第(2)問可用 數(shù)軸取交集. 例 2.求下列函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間: (1) ; (2) ; 解:(1)因?yàn)?23kxk?????,故原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為5[,]()21kZ???? . (2)由,得, 又 cos4in()2in()xy??, 所以該函數(shù)遞減區(qū)間為 324xkk????,即 5(4,)(2kkZ???. 點(diǎn)評(píng):利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意定義域的限制. 例 3.求下列函數(shù)的最小正周期: (1) ;(2) sinsi32yx??????????????? . 解:(1)由函數(shù)的最小正周期為,得的周期. (2) si()si()(sincosin)cos3xx??? 213131cos2sincosin24xxx????? . 點(diǎn)評(píng):求三角函數(shù)的周期一般有兩種:(1)化為的形式特征,利用公式求解;(2)利用函 數(shù)圖像特征求解. 【反饋演練】 1.函數(shù)的最小正周期為 _____________. 2.設(shè)函數(shù) ()sin()3fxx??????????R,則在上的單調(diào)遞減區(qū)間為___________________. 3.函數(shù) ico[,0]f??的單調(diào)遞增區(qū)間是________________. 4.設(shè)函數(shù),則的最小正周期為_______________. 5.函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________. 6.已知函數(shù) π12cos4()inxfx???????? . (Ⅰ)求的定義域; (Ⅱ)若角在第一象限且,求. 解:(Ⅰ) 由得,即. 故的定義域?yàn)?π|2xk??????????RZ,. (Ⅱ)由已知條件得 234sin1cos15?????????? . , 從而 π12cos4()inf???????????ππ12cossi2n44??????????2sincosicosco?? . 7. 設(shè)函數(shù) )(),0( )2sin() xfyxf ??????圖像的一條對(duì)稱軸是直線. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間; (Ⅲ)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像 解:(Ⅰ)的圖像的對(duì)稱軸, (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ).432sin(,43??????xy因 此 由題意得 ,2Zkxk??? 所以函數(shù) .],85,[)sin( Zky ???的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為 (Ⅲ)由 x 0 y -1 0 1 0 故函數(shù) 上 圖 像 是在 區(qū) 間 ],[)(?f? -1-32 321 12 -12 ?7?83?45?8?23?8?4?8o y x 第 7 課 三角函數(shù)的值域與最值 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握三角函數(shù)的值域與最值的求法,能運(yùn)用三角函數(shù)最值解決實(shí)際問題; 2.求三角函數(shù)值域與最值的常用方法:(1)化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式,利用函數(shù)的 有界性或單調(diào)性求解;(2)化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式的一元二次式,利用配方法或 圖像法求解;(3)借助直線的斜率的關(guān)系用數(shù)形結(jié)合求解;(4)換元法. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 1 . 2.函數(shù) )(2cos)(Rxxf ???的最大值等于 . 3.函數(shù)且的值域是___________________. 4.當(dāng)時(shí),函數(shù) xf2sin81)(?的最小值為 4 . 【范例解析】 例 1.(1)已知,求的最大值與最小值. (2)求函數(shù) sincosicoyxx???的最大值. 分析:可化為二次函數(shù)求最值問題. 解:(1)由已知得:, ,則.221sinco(sin)yx???? ,當(dāng)時(shí),有最小值;當(dāng)時(shí),有最小值. (2)設(shè),則,則,當(dāng)時(shí),有最大值為. 點(diǎn)評(píng):第(1)小題利用消元法,第(2)小題利用換元法最終都轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題; 但要注意變量的取值范圍. 例 2.求函數(shù)的最小值. 分析:利用函數(shù)的有界性求解. 解法一:原式可化為 sinco2(0)yxx????,得,即, 故,解得或(舍) ,所以的最小值為. 解法二:表示的是點(diǎn)與連線的斜率,其中點(diǎn) B 在左半圓上,由圖像知,當(dāng) AB 與半圓相切時(shí), 最小,此時(shí),所以的最小值為. 點(diǎn)評(píng):解法一利用三角函數(shù)的有界性求解;解法二從結(jié)構(gòu)出發(fā)利用斜率公式,結(jié)合圖像求 解. 例 3.已知函數(shù) 2π()sin3cos24fxxx?????????, . (I)求的最大值和最小值; (II)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 分析:觀察角,單角二次型,降次整理為形式. 解:(Ⅰ) π()1cos23cos21in3cos2fxxxx???????????????????∵ . 又, ,即 π21sin23x????????≤ ≤ ,maxmin()3()ff?,∴ . (Ⅱ) 2()()2fxfx??????∵ , , 且, ,即的取值范圍是. 點(diǎn)評(píng):第(Ⅱ)問屬于恒成立問題,可以先去絕對(duì)值,利用參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為求最值問題.本 小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí),以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解 題的能力. 【反饋演練】 1.函數(shù) )(6cos)3sin(2Rxxy?????的最小值等于____-1_______. 2.當(dāng)時(shí),函數(shù) 2inf 的最小值是______4 _______. 3.函數(shù)的最大值為_______,最小值為________. 4.函數(shù)的值域?yàn)? . 5.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,則的最小值等于_________. 6.已知函數(shù) ()2cos(incs)1fxxx????R,. (Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期; (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值. 解:(Ⅰ) π()2cos(incs)1in2cos2in4fxxxx?????????????. 因此,函數(shù)的最小正周期為. (Ⅱ)因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又, ,3π3ππ2sin2cos1444f???????????????? , 故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為. 第8課 解三角形 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握正弦定理,余弦定理,并能運(yùn)用正弦定理,余弦定理解斜三角形; 2.解三角形的基本途徑:根據(jù)所給條件靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理,然后通過化邊為角或 化角為邊,實(shí)施邊和角互化. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.在△ABC 中,已知 BC=12, A=60, B=45,則 AC= . 2.在中,若 sin:si5:78BC?,則的大小是______________. 3.在中,若, , ,則 . 【范例解析】 例 1. 在△ABC 中, a, b,c 分別為∠A,∠B,∠C 的對(duì)邊,已知, , . (1)求的值;(2)求的值. 分析:利用轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系. 解:(1)由 sini23cos2cCAa??. (2)由 0,3.2????? 得.由余弦定理 得: ,解得:或, 若,則,得,即矛盾,故. 點(diǎn)評(píng):在解三角形時(shí),應(yīng)注意多解的情況,往往要分類討論. 例 2.在三角形 ABC 中,已知 22()sin()()sin()abABabAB????,試判斷該三角形的 形狀. 解法一:(邊化角)由已知得: 2 2[i()i()][i()sin()]AB??, 化簡得 2cosincosnaABbA?, 由正弦定理得: 22iicosinB,即sin(sicsc)0? , 又, , . 又,或,即該三角形為等腰三角形或直角三角形. 解法二:(角化邊)同解法一得: 22cosincosinaABbA?, 由正余弦定理得: 22bab???? , 整理得: 222())0c??,即或, 即該三角形為等腰三角形或直角三角形. 點(diǎn)評(píng):判斷三角形形狀主要利用正弦或余弦定理進(jìn)行邊角互化,從而利用角或邊判定三角形 形狀. 例 3.如圖,D 是直角△ ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn), AB=AD,記∠ CAD=,∠ ABC=. (1)證明:; (2)若 AC=DC,求. 分析:識(shí)別圖中角之間的關(guān)系,從而建立等量關(guān)系. (1)證明:, , , (2)解: AC=DC, 2sin3sicos3sin????????. , ,. 點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)是從圖中尋找到角之間的等量關(guān)系,從而建立三角函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而求出的值. B D C α β A 例 4 【反饋演練】 1.在中, ,75,4,300??CAB則 BC =_____________. 2.的內(nèi)角∠A,∠B,∠C 的對(duì)邊分別為 a, b,c,若 a, b,c 成等比數(shù)列,且,則_____. 3.在中,若, ,則的形狀是____等邊___三角形. 4.若的內(nèi)角滿足,則= . 5.在中,已知, , . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 解:(Ⅰ)在中, 2243sin1cos15A?????????? ,由正弦定理, .所以 3sii5CB?. (Ⅱ)因?yàn)椋越菫殁g角,從而角為銳角,于是 221cos1in1????????? ,227s()5B?? ,14sinico?? .i2sin2cos2in666BB?????????? . 6.在中,已知內(nèi)角,邊.設(shè)內(nèi)角,周長為. (1)求函數(shù)的解析式和定義域;(2)求的最大值. 解:(1)的內(nèi)角和,由得. 應(yīng)用正弦定理,知 23sinsi4inBCAx????,sin4iBAx????????? . 因?yàn)椋?所以 224sini30yxxx????????????????????, (2)因?yàn)?1icosin????? 543sin23xx????????????????, 所以,當(dāng),即時(shí),取得最大值. 7.在中, , . (Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若最大邊的邊長為,求最小邊的邊長. 解:(Ⅰ) , 1345tant()CAB??????? . 又, . (Ⅱ) ,邊最大,即. 又 tant0AB???????????, , , ,角最小,邊為最小邊. 由 22 si1tco4in??????,, 且, 得.由得:. 所以,最小邊. 北 乙 甲例 1(1) 第 9 課 解三角形的應(yīng)用 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.運(yùn)用正余弦定理等知識(shí)與方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 2.綜合運(yùn)用三角函數(shù)各種知識(shí)和方法解決有關(guān)問題,深化對(duì)三角公式和基礎(chǔ)知識(shí)的理解,進(jìn) 一步提高三角變換的能力. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.在 200 高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為 30,60,則塔高為 _________. 2.某人朝正東方向走 x km 后,向右轉(zhuǎn) 150,然后朝新方向走 3km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km,那么 x 的值為_______________ km. 3.一船以每小時(shí) 15km 的速度向東航行,船在 A 處看到一個(gè)燈塔 B 在北偏東,行駛 4h 后, 船到達(dá) C 處,看到這個(gè)燈塔在北偏東,這時(shí)船與燈塔的距離為 km. 4.如圖,我炮兵陣地位于 A 處,兩觀察所分別設(shè)于 B, D,已知為邊長等于的正三角形,當(dāng) 目標(biāo)出現(xiàn)于 C 時(shí),測得, ,求炮擊目標(biāo)的距離 解:在中,由正弦定理得: ∴ 在中,由余弦定理得: 22cosCAC????? ∴ 答:線段的長為. 【范例解析】 例 .如圖,甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船 位于處時(shí),乙船位于甲船的北偏西方向的處,此時(shí)兩船相距海里,當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí), 乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時(shí)兩船相距海里,問乙船每小時(shí)航行多少海里? 分析:讀懂題意,正確構(gòu)造三角形,結(jié)合正弦定理或余弦定理求解. 解法一:如圖(2),連結(jié),由已知, A B C D 第 4 題 2 或 1203126A??, , 又 8B????∠ ,是等邊三角形, , 由已知, , 120564A??∠ , 在中,由余弦定理, 221112cos5BB????A2220(1)01???? . .因此,乙船的速度的大小為(海里/小時(shí)) . 答:乙船每小時(shí)航行海里. 解法二:如圖(3) ,連結(jié), 由已知, 1203126A??, ,cos45sin45????? ,in0co0????? . 在中,由余弦定理, 221112cos5ABAB???A2 (3)(0)04??? . . 由正弦定理 1121202(13)2sinsin4()AB????A∠ ∠ , ,即 126045BA???∠ , co5si??. 在中,由已知,由余弦定理, 221112csBA???22 2(13)0(3)(0)(3)04????? . ,乙船的速度的大小為(海里/小時(shí)) . 北 甲 乙 例 1(2) 北 乙 甲例 1(3) 答:乙船每小時(shí)航行海里. 點(diǎn)評(píng):解法二也是構(gòu)造三角形的一種方法,但計(jì)算量大,通過比較二種方法,學(xué)生要善于利 用條件簡化解題過程. 【反饋演練】 1.江岸邊有一炮臺(tái)高 30m,江中有兩條船,由炮臺(tái)頂部測得俯角分別為和,而且兩條船與炮 臺(tái)底部連線成角,則兩條船相距____________ m. 2.有一長為 1km 的斜坡,它的傾斜角為,現(xiàn)要將傾斜角改為,則坡底要伸長____1___ km. 3.某船上的人開始看見燈塔在南偏東方向,后來船沿南偏東方向航行 45 海里后,看見燈塔 在正西方向,則此時(shí)船與燈塔的距離是__________海里. 4.把一根長為 30cm 的木條鋸成兩段,分別作鈍角三角形的兩邊和,且,則第三條邊的最小 值是____________ cm. 5.設(shè)是某港口水的深度 y(米)關(guān)于時(shí)間 t(時(shí))的函數(shù),其中.下表是該港口某一天 從 0 時(shí)至 24 時(shí)記錄的時(shí)間 t 與水深 y 的關(guān)系: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 經(jīng)長期觀察,函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.下面的函數(shù)中, 最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是 ( A ) A. ]24,0[6sin312???t?B. ]24,0[)6sin(312???ty? C. y D.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù)B 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 講義 第三 三角函數(shù)
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