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2019-2020年高中數(shù)學《向量的應(yīng)用》教案3 蘇教版必修4 一、教材分析 向量概念是由物理學和工程技術(shù)抽象出來的，反向量的理論和方法，又成為解決物理學和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題教學中要展現(xiàn)并讓學生經(jīng)歷這個抽象的過程。 向量在數(shù)學知識中的應(yīng)用 ，注意突出向量的工具性，向量在物理中的應(yīng)用 ，是培養(yǎng)學生用向量知識解決有關(guān)物理問題的能力，向量在物理中的應(yīng)用既是一個物理問題又是一個數(shù)學問題，所以在教學中，首先要把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即用數(shù)學知識建立物理量之間的關(guān)系，也就是抽象成數(shù)學模型，然后再用建立起的數(shù)學模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象 由于向量具有兩個明顯特點——“形”的特點和“數(shù)”的特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標實際是把點與數(shù)聯(lián)系了起來，進而可把曲線與方程聯(lián)系起來，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題，同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題，因此這部分知識還滲透了數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想 一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，也就是將物理中量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學模型，另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。 本節(jié)課是蘇教版必修4第2章平面向量中第5節(jié)向量的應(yīng)用，通過本節(jié)課的學習，學生將進一步深化用向量的語言和方法表述和解決數(shù)學和物理中的一些問題。 二、學情分析 本節(jié)課的授課對象為單招預(yù)科班學生，對于職高學生的數(shù)學基礎(chǔ)及學習特點，為了激發(fā)學生學習興趣并考慮學生的最近發(fā)展區(qū)針對單招預(yù)科班學生創(chuàng)設(shè)拔河比賽等問題情景。 學生已學習平面向量的相關(guān)內(nèi)容,初步建立了向量的數(shù)學模型和物理模型。教學中盡可能提供學生動手實踐的機會,利用信息技術(shù)工具,讓學生從親身體驗中掌握知識與方法；應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境,提高學生學習興趣,發(fā)揮主觀能動性。 此外,學生總結(jié)歸納的能力還不夠, 需要教師適當?shù)囊龑Ш蛶椭? 三、教學目標 知識與技能：1. 學會如何把生活中的問題提煉出數(shù)學信息，并加工成數(shù)學語言，并用向量知識解決物理問題，.體會向量是一種數(shù)學工具 2. 掌握用向量知識解決代數(shù)問題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)換和強化數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法． 3.揭示知識背景，強化學生的參與意識；加強數(shù)學結(jié)合能力，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力. 4.初步會用多媒體技術(shù)——幾何畫板作圖工具處理數(shù)學問題。 過程與方法：1.通過學生自主探究畫物體受力分析轉(zhuǎn)化到向量的幾何特征的過程滲透數(shù)學結(jié)合思想和化規(guī)及轉(zhuǎn)化思想。 2.利用幾何畫板,更體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想。 3．通過引導學生觀察、分析、綜合、抽象、概括，引導學生利用實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力． 情感、態(tài)度與價值觀：體驗探究的樂趣,認識到萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,學會用辨證與聯(lián)系的觀點看問題。培養(yǎng)分析、解決和應(yīng)用問題的能力。 情感、態(tài)度與價值觀：通過問題情景和例題的探究了解數(shù)學在實際中的應(yīng)用，增強學生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提高學習數(shù)學的興趣，開闊數(shù)學視野，認識數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值。 四、教學重點與難點 重點：利用向量解決某些簡單的幾何問題,力學問題；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想 難點：向量法在實際問題中的應(yīng)用 五、教學方法 本節(jié)課采用“啟發(fā)式、探究式教學”。把問題作為出發(fā)點，指導學生“畫、看、說、用”。較好地探求.經(jīng)歷用向量法解決某些簡單的幾何問題,力學問題的過程. 六、教學準備 帶學生進機房，打開幾何畫板作圖工具界面。 七、整體設(shè)計意圖 本節(jié)課的教學設(shè)計充分體現(xiàn)以學生發(fā)展為本，培養(yǎng)學生的觀察、概括和探究能力，遵循學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)理論聯(lián)系實際、循序漸進和因材施教的教學原則，借助多媒體網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，發(fā)揮學生的動手能力，通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣，在觀察中發(fā)現(xiàn)，在總結(jié)中應(yīng)用，體會收獲的喜悅，使學生在問題解決的探索過程中，由學會走向會學，由被動答題走向主動探究，從而提高課堂效率，提高學生探究應(yīng)用意識。 八、教學過程設(shè)計 （一） 問題情景，提出課題 向量是既有大小又有方向的量,它既有代數(shù)特征,又有幾何特征;通過向量可以實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化,所以向量是數(shù)型結(jié)合的橋梁;向量也是解決許多物理問題的有力工具. 【設(shè)計意圖】引入教學主題，展示教學目標． 問題1、你能寫出向量有關(guān)運算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等）的幾何意義或物理原型嗎？ ［設(shè)計意圖］溫故知新，提煉先前教學中向量作為工具的方法、技能問題情境 情景１、　兩人拔河比力量，如示意圖： 甲 乙 圖1 ２、 三人比賽，如示意圖： 甲 乙 丙 提問并口答：圖1中誰的力氣大？如勢均力敵則你能得到怎樣的數(shù)學等式？ 圖2中三人處于靜止狀態(tài)請寫出受力分析等式及對應(yīng)的數(shù)學等式？誰的力氣最大？你們有什么方法來解決這個問題？ (電腦投影問題情景) ［設(shè)計意圖］通過創(chuàng)設(shè)問題情景，了解向量是既有大小又有方向的量,它既有代數(shù)特征,又有幾何特征;通過向量可以實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化,所以向量是數(shù)型結(jié)合的橋梁;向量也是解決許多物理問題的有力工具.．實際問題既能激發(fā)學生的學習興趣，讓學生自主發(fā)現(xiàn)用向量來解決問題，又體現(xiàn)數(shù)學來源于生活、為生活服務(wù)這一指導思想． 由此可見，向量在現(xiàn)實生活中都有著廣泛的應(yīng)用。 （板書課題） （二）學生活動，合作討論 問題2：證明：同一平面內(nèi)，互成120?? 的三個大小相等的共點力的合力為零。 考慮到學生認知發(fā)展水平的不同，可能有少部分學生在解決問題時不知所措．對此，教師要有充分的準備，使教學情景的設(shè)計建立在學生可能遇到的困難之上，以此引導學生按照這些步驟去解決問題，從而進一步地提高對問題解決的認識，而不應(yīng)該事先告訴學生將要做什么，甚至教他怎么去做． 嘗試回答下列問題 問題１：你認為題目要解決的問題是什么？ 問題2：怎樣解決你的問題？教師可以讓學生嘗試回答自己解決的問題方案，當學生陷入困境時，讓他們進行討論，在交流中將學習引向作受力分析圖的思考上． ［設(shè)計意圖］為例1向量在物理學中的應(yīng)用作鋪墊，起到承上啟下的作用，當把物理學問題抽象為向量的問題后，就可以脫離物理學模型，而只要利用數(shù)學方法來解決問題了。問題是為了得到物理中的合力為0即可得到數(shù)學中向量a+b+c=0。對于問題我更關(guān)注其解決的過程，從師生共同解決問題的過程中使學生掌握使用向量解決問題的方法，體會到向量作為工具的作用。 （三）數(shù)學應(yīng)用 例1.如圖所示,無彈性的細繩的一端分別固定在處,同質(zhì)量的細繩下端系著一個稱盤,且使得試分析三根繩子受力的大小,判斷哪根繩子受力最大.(物理學中的應(yīng)用) （合作探究，學生板演、學生點評師生補充并投影其他學生解題過程） 【設(shè)計意圖】與問題2聯(lián)系起來,結(jié)合分析物體的受力情況（這實際上是物理學的分析），把它看成是求向量和的問題（這樣就抽象為數(shù)學問題了），得出結(jié)論后，再在物理問題中加以驗證． （1）為了能用數(shù)學描述這個問題，我們要先把這一物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題．如上題目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫出相關(guān)圖形！ （2）由物理中的矢量問題化成數(shù)學中的向量問題，用向量的有關(guān)法則解決問題！ （3）用數(shù)學的結(jié)果解決物理問題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象． 【探究】由學生自主完成物理學的受力分析，并得出結(jié)論，再由師生共同分析，“當從物理（力學）問題抽象為數(shù)學問題后，問題解決的方法是否能有突破” 探究結(jié)論：當數(shù)學上表示出首尾依次相連可能構(gòu)成三角形后，可以構(gòu)造三角形來解決此問題． ［設(shè)計意圖］：通過學生自主探究畫物體受力分析轉(zhuǎn)化到向量的幾何特征的過程滲透數(shù)學結(jié)合思想和化規(guī)及轉(zhuǎn)化思想；學會如何把生活中的問題提煉出數(shù)學信息，并加工成數(shù)學語言，并用向量知識解決物理問題，.體會向量是一種數(shù)學工具；符合“數(shù)學教學應(yīng)從學生生活經(jīng)驗出發(fā)”和“關(guān)注概念的實際背景”這一新課程標準的要求。同時也可以讓學生感受解決問題的成功感，激發(fā)學生的學習興趣。 舉一反三：練習P83練習——1 （投影學生解題過程學生點評） ［設(shè)計意圖］：從練習中鞏固例1向量在物理中的應(yīng)用，并得到學生的及時反饋情況 例2.已知:, 求證: ［設(shè)計意圖］：證明的關(guān)鍵是向量之間的轉(zhuǎn)化。即應(yīng)用平面向量基本定理，將兩對向量的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化到第三對向量的垂直關(guān)系。例2是證明兩向量垂直．這是＂向量的內(nèi)積＂的性質(zhì)運用．同時，通過例1的教學，學生已經(jīng)了解了用圖形來解決問題的方法，教師就應(yīng)當按照這條主線來設(shè)計教學任務(wù)．但考慮到學生認知發(fā)展水平的不同，可能會有部分學生想到用向量的內(nèi)積來證明，也有一部分學生想到結(jié)合圖形來解決問題．對此，教師要有充分的準備，使教學情景的設(shè)計建立在學生可能遇到的困難之上，以此引導學生向量在教學中的作用：代數(shù)問題和幾何問題的轉(zhuǎn)換．為例3作準備。 思考:你能否畫一個幾何圖形來解釋例2 ？ 畫一個三角形△ABC，BC和AC邊上的高交于點O，此時O是△ABC的重心，所以O(shè)C垂直AB一定成立 例3.已知直線經(jīng)過點和,用向量方法求的方程. ［設(shè)計意圖］：通過向量實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁。展示數(shù)學的魅力，并養(yǎng)成完整、嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣 思考:把改為,我們?nèi)鐖D可以得到證明三點共線的一種方法. （四）回顧反思，強化本質(zhì) 先引導學生歸納知識，且對知識稍加說明． 1、用向量法解決某些簡單的幾何問題,力學問題 2、向量是一種數(shù)學工具 （五）課外作業(yè)，提升應(yīng)用 作業(yè):課本習題:2.5 1,2,3,4 （六）教學媒體運用分析 利用多媒體輔助教學，尤其是采用人機對話，檢測學生完成目標情況，充分調(diào)動了學生學習上的主動性，激發(fā)學生強烈的求知欲，而且培養(yǎng)了學生創(chuàng)造性。 （七） 課堂教學板書（略） 九、拓展資源 向量方法綜述 研究幾何可以采取不同的方法，以前常用的是“綜合方法”，它是歐氏幾何所采用的研究方法，是最早用來研究幾何的方法。它不使用其他工具，只依據(jù)基本的邏輯原理，從公理（基本事實）出發(fā)，通過演繹推理建立起幾何體系。綜合法所給出的幾何論證嚴謹而優(yōu)雅，但沒有一般的規(guī)律可循，存在較大的思考難度，往往對人的智力形成極大的挑戰(zhàn)。 “向量方法”是把點、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算結(jié)果翻譯成關(guān)于點、線、面的相應(yīng)結(jié)果，向量的方法可簡單地表述為 向量到數(shù)和形 向量的運算 形到向量 這就是教材中給出的“向量方法”的“三步曲”： （1） 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。 （2） 通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、角度等問題。 （3） 把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。 另外，向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，在解決幾何問題中的工具作用更顯突出。