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2019-2020年高中數學知識精要 23.推理與證明教案 新人教A版 1.合情推理：歸納推理與類比推理 （1）歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概栝出一般結論的推理.(簡稱歸納) 歸納推理的幾個特點; ①歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍. ②歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象,因而結論具有猜測性. ③歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經驗和實驗的基礎之上. 歸納是立足于觀察、經驗、實驗和對有限資料分析的基礎上.提出帶有規(guī)律性的結論. 歸納推理的一般步驟： ① 對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理； ② 提出帶有規(guī)律性的結論，即猜想； ③ 檢驗猜想。 （2）類比推理：在兩類不同事物之間進行對比,找出若干相同或相似點之后,推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式.(簡稱類比) 類比推理的幾個特點; ①類比是從人們已經掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識為基礎,類比出新的結果. ②.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性. ③類比的結果是猜測性的不一定可靠,單它卻有發(fā)現的功能. 類比推理的一般步驟： ① 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； ② 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； ③ 檢驗猜想。 2.演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論的推理． （１）演繹推理是由一般到特殊的推理； （２）“三段論”是演繹推理的一般模式； ①大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　 ②小前提---所研究的特殊情況；　　　　　　　 ③結論-----據一般原理，對特殊情況做出的判斷． （3）三段論推理的依據,用集合的觀點來理解: 若集合M的所有元素都具有性質P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質P. 合情推理與演繹推理的區(qū)別: ①歸納是由特殊到一般的推理; ②類比是由特殊到特殊的推理; ③演繹推理是由一般到特殊的推理. 從推理的結論來看,合情推理的結論不一定正確,有待證明;演繹推理得到的結論一定正確. 演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程. 數學結論、證明思路的發(fā)現,主要靠合情推理. 3.證明 （1）綜合法 利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立的綜合法. 特點:“由因導果” （2）分析法：一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止的方法． 特點：執(zhí)果索因 （3）反正法： 反證法證明一個命題常采用以下步驟： ①假定命題的結論不成立， ②進行推理，在推理中出現下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾， ③由于上述矛盾的出現，可以斷言，原來的假定“結論不成立”是錯誤的。 ④肯定原來命題的結論是正確的。 即“反設——歸謬——結論”.