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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第31課時(shí)《用二分法求方程的近似解》（學(xué)生版）蘇教版必修1 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 學(xué)習(xí)要求 1．通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用； 2．能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解； 3．體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一． 自學(xué)評(píng)價(jià) 1．二分法 對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 2．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下： 聽(tīng)課隨筆 （1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度； （2）求區(qū)間的中點(diǎn)； （3）計(jì)算： ①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)； ② 若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； ③若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； （4）判斷是否達(dá)到精度：即若，則得到零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4． 【精典范例】 例1：利用計(jì)算器，求方程的一個(gè)近似解（精確到0.1）． 【解】設(shè)， 先畫(huà)出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖. (如右圖所示) 因?yàn)? ， 所以在區(qū)間內(nèi)，方程有一解，記為.取與的平均數(shù)，因?yàn)? ， 所以 . 再取與的平均數(shù)，因?yàn)椋? 所以 . 如此繼續(xù)下去，得 ，因?yàn)榕c精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為 . 利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個(gè)近似解. 點(diǎn)評(píng):①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通?？纱_定一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間； ②建議列表樣式如下： 零點(diǎn)所在區(qū)間 區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值 區(qū)間長(zhǎng)度 1 0.5 0.25 0.125 如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長(zhǎng)度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步． 例2：利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0.1）． 分析：分別畫(huà)函數(shù)和 的圖象，在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等．因此，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解．由函數(shù)與的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程有惟一解，記為，并且這個(gè)解在區(qū)間內(nèi). 【解】設(shè)，利用計(jì)算器計(jì)算得 聽(tīng)課隨筆 因?yàn)榕c精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為 . 思考:發(fā)現(xiàn)計(jì)算的結(jié)果約穩(wěn)定在.這實(shí)際上是求方程近似解的另一種方法——迭代法． 除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法還有牛頓切線(xiàn)法、弦切法等． 例3：利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0.1）． 【解】方程 可以化為． 分別畫(huà)函數(shù) 與的圖象，由圖象可以知道，方程的解在區(qū)間內(nèi)，那么對(duì)于區(qū)間，利用二分法就可以求得它的近似解為. 追蹤訓(xùn)練一 1. 設(shè)是方程的解，則所在的區(qū)間為 （ ） A． B． C． D． 2. 估算方程的正根所在的區(qū)間是 （ ） A． B． C． D． 3．計(jì)算器求得方程的負(fù)根所在的區(qū)間是（ ） A．（，0） B． C． D． 4.利用計(jì)算器,求下列方程的近似解(精確到) (1) (2) 【選修延伸】 一、含字母系數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題 例4：二次函數(shù)中實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，其中，求證： （1）)； （2）方程在內(nèi)恒有解． 分析：本題的巧妙之處在于，第一小題提供了有益的依據(jù)：是區(qū)間 內(nèi)的數(shù)，且，這就啟發(fā)我們把區(qū)間 劃分為(，)和（，）來(lái)處理． 【解】（1） ， 由于是二次函數(shù),故，又，所以，． ⑵ 由題意，得, ． ①當(dāng)時(shí)，由（1）知 聽(tīng)課隨筆 若，則，又,所以 在（，）內(nèi)有解． 若，則 聽(tīng)課隨筆 ，又，所以在（,）內(nèi)有解． ②當(dāng)時(shí)同理可證． 點(diǎn)評(píng)：（1）題目點(diǎn)明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項(xiàng)系數(shù)．若將題中的“二次”兩個(gè)字去掉，所證結(jié)論相應(yīng)更改． （2）對(duì)字母、分類(lèi)時(shí)先對(duì)哪個(gè)分類(lèi)是有一定講究的，本題的證明中，先對(duì)分類(lèi)，然后對(duì)分類(lèi)顯然是比較好． 追蹤訓(xùn)練二 1．若方程在內(nèi)恰有一則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ) A． B． C． D． 2.方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間和內(nèi)，則的取值范圍是 ； 3．已知函數(shù)，在上存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____ ____________． 4．已知函數(shù) ⑴試求函數(shù)的零點(diǎn)； ⑵是否存在自然數(shù)，使？若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．