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2019-2020年高中數學 2.2.1《綜合法和分析法》教案 新人教A版選修2-2 第一課時 2.2.1 綜合法和分析法（一） 教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點. 教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程. 教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法. 教學過程： 一、復習準備： 1. 已知 “若，且，則”，試請此結論推廣猜想. （答案：若，且，則 ） 2. 已知，，求證：. 先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？ 二、講授新課： 1. 教學例題： ① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析：運用什么知識來解決？（基本不等式） → 板演證明過程（注意等號的處理） → 討論：證明形式的特點 ② 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立. 框圖表示： 要點：順推證法；由因導果. ③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證. ④ 出示例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列. 求證：為△ABC等邊三角形. 分析：從哪些已知，可以得到什么結論？ 如何轉化三角形中邊角關系？ → 板演證明過程 → 討論：證明過程的特點. → 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關系的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和） 2. 練習： ① 為銳角，且，求證：. （提示：算） ② 已知 求證： 3. 小結：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結論，直到最后的結論是Q. 運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題. 三、鞏固練習： 1. 求證：對于任意角θ，. （教材P100 練習 1題） （兩人板演 → 訂正 → 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程） 2. 的三個內角成等差數列，求證：. 3. 作業(yè)：教材P102 A組 2、3題. 第二課時 2.2.1 綜合法和分析法（二） 教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點. 教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程. 教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法. 教學過程： 一、復習準備： 1. 提問：基本不等式的形式？ 2. 討論：如何證明基本不等式. （討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發(fā)，一步步探求結論成立的充分條件） 二、講授新課： 1. 教學例題： ① 出示例1：求證. 討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件？ → 板演證明過程 （注意格式） → 再討論：能用綜合法證明嗎？ → 比較：兩種證法 ② 提出分析法：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止. 框圖表示： 要點：逆推證法；執(zhí)果索因. ③ 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：. 先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明. ④ 出示例2：見教材P97. 討論：如何尋找證明思路？（從結論出發(fā)，逐步反推） ⑤ 出示例3：見教材P99. 討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發(fā)，逐步探求） 2. 練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為，截面積為，周長為l的正方形邊長為，截面積為，問題只需證：> . 3. 小結：分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立； 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑. （框圖示意） 三、鞏固練習： 1. 設a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：. 略證：正弦、余弦定理代入得：， 即證：，即：，即證：（成立）. 2. 作業(yè)：教材P100 練習 2、3題. 第三課時 2.2.2 反證法 教學要求：結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點. 教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程. 教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法. 教學過程： 一、復習準備： 1. 討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次） 2. 提出問題： 平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”. 討論如何證明這個命題？ 3. 給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點， 則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上， 即O是l與m的交點。 但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾) ∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓. 二、講授新課： 1. 教學反證法概念及步驟： ① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么 ② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立. 證明基本步驟：假設原命題的結論不成立 → 從假設出發(fā)，經推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立 應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）. 方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實. 注：結合準備題分析以上知識. 2. 教學例題： ① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定結論？ → 如何從假設出發(fā)進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？ 與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結OP， 則由垂徑定理：OP^AB，OP^CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分. ② 出示例2：求證是無理數. （ 同上分析 → 板演證明，提示：有理數可表示為） 證：假設是有理數，則不妨設（m,n為互質正整數）， 從而：，，可見m是3的倍數. 設m=3p（p是正整數），則 ，可見n 也是3的倍數. 這樣，m, n就不是互質的正整數（矛盾）. ∴不可能，∴是無理數. ③ 練習：如果為無理數，求證是無理數. 提示：假設為有理數，則可表示為（為整數），即. 由，則也是有理數，這與已知矛盾. ∴ 是無理數. 3. 小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結論正確. 注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題） 三、鞏固練習： 1. 練習：教材P102 1、2題 2. 作業(yè)：教材P102 A組4題.