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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3變量間的相關(guān)關(guān)系導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修3 學(xué)習(xí)目標(biāo) （1）通過具體示例引導(dǎo)學(xué)生考察變量之間的關(guān)系，在討論的過程中認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界中存在著不能用函數(shù)模型描述的變量關(guān)系,從而體會(huì)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系的重要性. (2) 通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.會(huì)作散點(diǎn)圖,并對變量間的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)關(guān)系作出直觀判斷. (3) 在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解統(tǒng)計(jì)的作用. 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系. 難點(diǎn)：理解變量間的相關(guān)關(guān)系. 學(xué)法指導(dǎo) 在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法。 問題探究 復(fù)習(xí)回顧： 函數(shù)的定義 二、情景設(shè)置： 客觀事物是相互聯(lián)系的,過去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系，但實(shí)際上更多存在的是一種非因果關(guān)系.在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問題.”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個(gè)變量，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ 二、探究新知： 知識探究（一）：變量之間的相關(guān)關(guān)系 思考1：考察下列問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系： （1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)； （2）糧食產(chǎn)量與施肥量； （3）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ 思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？你能舉出類似的描述生活中兩個(gè)變量之間的這種關(guān)系的成語嗎？ 思考3：上述兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，稱之為相關(guān)關(guān)系，那么相關(guān)關(guān)系的含義如何？ 思考4：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)： 總結(jié)：對相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)： 其一是相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)系是一種非常確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系.而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個(gè)非隨機(jī)變量之間的關(guān)系.因此，不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系. 其二是函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.例如，有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系.然而，學(xué)會(huì)新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個(gè)因素——年齡.當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高而且由于長大腳也變大. 其三是在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系，如何判斷和描述相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關(guān)關(guān)系帶有不確定性，這需要通過收集大量的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，才能作出科學(xué)的判斷.（對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析.） 知識探究（二）：散點(diǎn)圖 【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：……課本85頁的探究。 思考1：描述一下散點(diǎn)圖的含義。 思考2：從上面問題的散點(diǎn)圖中說明人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系？ 思考3：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義是什么？它們各有什么特征？ （1）正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從 到 的區(qū)域。 （2）負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從 到 的區(qū)域。 思考4：你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的實(shí)例嗎? 三、典例分析: 例1 在下列兩個(gè)變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？ ①正方形邊長與面積之間的關(guān)系； ②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系； ③人的身高與年齡之間的關(guān)系； ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系. 例2 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格和房屋的面積的數(shù)據(jù)： 房屋面積 （平方米） 61 70 115 110 80 135 105 銷售價(jià)格（萬元） 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22 畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖，并指出銷售價(jià)格與房屋面積這兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān). 例3、某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表： 根據(jù)上述數(shù)據(jù),氣溫與熱茶銷售量之間的有怎樣的關(guān)系? 氣溫/C 26 18 13 10 4 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 知識探究（三）：線性回歸 一、回歸直線方程的推導(dǎo) 思考1：人體脂肪含量和年齡關(guān)系散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看有何特點(diǎn)？ 思考2：如何描述這些特點(diǎn)？ （1）回歸直線：觀察散點(diǎn)圖的特征，如果各點(diǎn)大致分布在 附近，就稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。 （2）回歸方程： 對應(yīng)的方程叫做回歸方程。 思考3：回歸直線方程的推導(dǎo)：我們該怎樣來求出這個(gè)回歸方程？請同學(xué)們展開討論，能得出哪些具體的方案？ 方案1、先畫出一條直線，測量出各點(diǎn)與它的距離，再移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小時(shí)，測出它的斜率和截距，得回歸方程。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 方案2、在圖中選兩點(diǎn)作直線，使直線兩側(cè) 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 方案3、如果多取幾對點(diǎn)，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸 直線的斜率和截距。而得回歸方程。20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 我們還可以找到更多的方法，但這些方法都可行嗎? 科學(xué)嗎？準(zhǔn)確嗎？怎樣的方法是最好的？ 思考4：如何求解最有代表性的直線方程？ ①假設(shè)已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù) ， ，┉ 。 ②設(shè)所求回歸方程為 其中，是待定參數(shù)。 ③由最小二乘法得 其中：是回歸方程的 ，是 。 注： 1、各點(diǎn)到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。 2、我們把由一個(gè)變量的變化去推測另一個(gè)變量的方法稱為回歸方法。 二、求線性回歸方程 例2：觀察兩相關(guān)變量得如下表： x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 求兩變量間的回歸方程 解：列表 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 9 14 15 12 5 5 15 12 14 9 計(jì)算，得 ∴所求回歸直線方程為 y=x 小結(jié)：求線性回歸直線方程的步驟： 第一步：畫出散點(diǎn)圖，判斷是否具有相關(guān)關(guān)系 第二步：列表； 第三步：計(jì)算 第四步：代入公式計(jì)算b,a的值； 第五步：寫出直線方程。 三、利用線性回歸方程對總體進(jìn)行估計(jì) 例：有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表： 溫度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律； (3)求回歸方程； (4)如果某天的氣溫是C,預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。 解: (1)散點(diǎn)圖 溫度 熱飲杯數(shù) (2)氣溫與熱飲杯數(shù)成負(fù)相關(guān),即氣溫越高， 賣出去的熱飲杯數(shù)越少。 (3)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近。 Y=-2.352x+147.767 ^ 通過列表、計(jì)算、代入公式計(jì)算b,a的值、寫出直線方程。 Y=-2.352x+147.767 （4）當(dāng)x=2時(shí)，y=143.063,因此，這天大約可以賣出143杯熱飲。 目標(biāo)檢測 1、下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（?。? A．角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積 C．正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高 2、 有關(guān)法律規(guī)定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.吸煙和健康之間有因果關(guān)系嗎？每一個(gè)吸煙者的健康問題都是因?yàn)槲鼰熞鸬膯?？你認(rèn)為“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙“的說法對嗎？ 3、 地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍.有人經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象,如果村莊附近棲息的天鵝多,那么這個(gè)村莊的嬰兒出生率也高；天鵝少的地方嬰兒出生率低.于是,他就得出一個(gè)結(jié)論:天鵝能夠帶來孩子.你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論對嗎？為什么？你能由此解釋一下,社會(huì)上流行“烏鴉叫,沒好兆”這樣的迷信說法的原因嗎？ 4、 下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料，請判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由． 車輛數(shù) 95 110 112 120 129 135 150 180 事故數(shù) 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 5、以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格和房屋的面積的數(shù)據(jù)： （1）畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖； （2）求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線； （3）據(jù)（2）的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為時(shí)的銷售價(jià)格. 6．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 2．5 3 4 4．5 （1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； （2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=; （3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ （參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5＝66．5）