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2019-2020年高中數(shù)學 第一章《解三角形應用舉例》教案4 新人教A版必修5 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用 過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。 情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗 ●教學重點 推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目 ●教學難點 利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [創(chuàng)設情境] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在 ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆? 生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA 師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S=ah,應用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？ 生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？ 生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。 解：（1）應用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm) (2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = b A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.16≈4.0(cm) (3)根據(jù)余弦定理的推論，得 cosB = = ≈0.7697 sinB = ≈≈0.6384 應用S=acsinB，得 S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm) 例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？ 師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？ 生：本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。 由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。 解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論， cosB= =≈0.7532 sinB=0.6578 應用S=acsinB S ≈681270.6578≈2840.38(m) 答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。 例3、在ABC中，求證： （1） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明 證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設 = = = k 顯然 k0，所以 左邊= ==右邊 （2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左邊 變式練習1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S 提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。 答案：a=6,S=9;a=12,S=18 變式練習2：判斷滿足下列條件的三角形形狀， （1） acosA = bcosB （2） sinC = 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊” （1） 師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。 生1：（余弦定理）得 a=b c= 根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形或直角三角形 生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, sin2A=sin2B, 2A=2B, A=B 根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形 師：根據(jù)該同學的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢？ 生：第一位同學的正確。第二位同學遺漏了另一種情況，因為sin2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個角互補，即2A+2B=180，A+B=90 (2)（解略）直角三角形 Ⅲ.課堂練習 課本第21頁練習第1、2題 Ⅳ.課時小結 利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。 Ⅴ.課后作業(yè) 課本第23頁練習第12、14、15題 ●板書設計 ●授后記