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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第八課時(shí) 等比數(shù)列教案（二） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，深刻理解等比中項(xiàng)概念，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí). 教學(xué)重點(diǎn)： 1.等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用. 2.等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)： 靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題. 教學(xué)過(guò)程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 等比數(shù)列定義，等比數(shù)列通項(xiàng)公式 Ⅱ.講授新課 根據(jù)定義、通項(xiàng)公式，再與等差數(shù)列對(duì)照，看等比數(shù)列具有哪些性質(zhì)? (1)若a，A，b成等差數(shù)列a＝，A為等差中項(xiàng). 那么，如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，…… 則即＝，即G2＝ab 反之，若G2＝ab，則＝，即a，G，b成等比數(shù)列 ∴a，G，b成等比數(shù)列G2＝ab (ab≠0) 總之，如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).即G＝，(a，b同號(hào)) 另外，在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，那么，在等比數(shù)列中呢？ 由通項(xiàng)公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，aq＝a1qq－1 不難發(fā)現(xiàn)：aman＝a12qm+n－2，apaq＝a12qp+q－2 若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq 下面看應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決哪些問(wèn)題? ［例1］在等比數(shù)列{an}中，若a3a5＝100，求a4. 分析：由等比數(shù)列性質(zhì)，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq可得： 解：∵在等比數(shù)列中，∴a3a5＝a42 又∵a3a5＝100，∴a4＝10. ［例2］已知{an}、{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證{anbn}是等比數(shù)列. 分析：由等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式求得. 解：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比為p；{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q. 則數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分別為a1pn－1，a1pn 數(shù)列{bn}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分別為b1qn－1，b1qn. 數(shù)列{anbn}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分別為a1pn－1b1qn－1與a1pnb1qn，即為 a1b1(pq)n－1與a1b1(pq)n ∵＝＝pq 它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)， ∴{anbn}是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列. 特別地，如果{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，那么數(shù)列{can}是等比數(shù)列. ［例3］三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個(gè)數(shù). 解：設(shè)m，G，n為此三數(shù) 由已知得：m＋n＋G＝14，mnG＝64， 又∵G2＝mn，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10 ∴或 即這三個(gè)數(shù)為2，4，8或8，4，2. 評(píng)述：結(jié)合已知條件與定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)，選擇解題捷徑. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P50練習(xí)1，2，3，4，5. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)主要內(nèi)容為： (1)若a，G，b成等比數(shù)列，則G2＝ab，G叫做a與b的等比中項(xiàng). (2)若在等比數(shù)列中，m＋n＝p＋q，則aman＝apaq Ⅴ.課后作業(yè) 課本P52習(xí)題 5，6，7，9 等比數(shù)列(二) 1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 2．在等比數(shù)列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于 （ ） A.9 B.10 C.11 D.12 3．非零實(shí)數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分別成等比數(shù)列，則y等于（ ） A.10 B.12 C.14 D.16 4．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù). 5．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值. 6．設(shè)x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個(gè)等比數(shù)列. 7．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個(gè)數(shù). 等比數(shù)列(二)答案 1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 分析：要確定一個(gè)等比數(shù)列，必須有兩個(gè)獨(dú)立條件，而這里只有一個(gè)條件，故用先確定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而應(yīng)尋求a3＋a5整體與已知條件之間的關(guān)系. 解法一：設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，由條件得a1qa1q3＋2a1q2a1q4＋a1q3a1q5＝25 即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0 ∴a1q2(q2＋1）＝5 a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5 解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25 由等比數(shù)列性質(zhì)得a32＋2a3a5＋a52＝25 即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5 評(píng)述：在運(yùn)用方程思想方法的過(guò)程中，還要注意整體觀念，善于利用等比數(shù)列的性質(zhì)，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程、快速求解的目的. 2．在等比數(shù)列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于 （ ） A.9 B.10 C.11 D.12 解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1 又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11. 答案：C 3．非零實(shí)數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分別成等比數(shù)列，則y等于（ ） A.10 B.12 C.14 D.16 解：由已知得y＝12 答案：B 4．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù). 解：設(shè)所求的四個(gè)數(shù)分別為a，x－d，x，x＋d 則 解得x＝4，代入①、②得 解得或 故所求四個(gè)數(shù)為25，－10，4，18或9，6，4，2. 5．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值. 分析：關(guān)鍵是求出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)條件，應(yīng)注意兩個(gè)數(shù)列之間的聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)換. 解：由題意知： ∴an+1＝，an＝ (n≥2) 代入①得2bn＝＋ 即2＝＋ (n≥2) ∴{}成等差數(shù)列，設(shè)公差為d 又b1＝2，b2＝＝， ∴d＝－＝－＝ ∴＝＋（n－1）＝（n＋1），bn＝（n＋1）2， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝＝ ③ 且a1＝1時(shí)適合于③式，故 ＝. 評(píng)述：對(duì)于通項(xiàng)公式有關(guān)系的兩個(gè)數(shù)列的問(wèn)題，一般采用消元法，先消去一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，并對(duì)只含另一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列. 6．設(shè)x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個(gè)等比數(shù)列. 分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下來(lái)只需討論 和x－y的大小關(guān)系，分成兩種情況討論. 解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而 ＜1＜x－y 當(dāng) ＜x－y時(shí)，由 ，x－y，x＋y，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列. 則有 解方程組得x＝7＋5，y＝5＋ ∴所求等比數(shù)列為，2＋，12＋，70＋. 當(dāng) ＞x－y時(shí)，由x－y， ，x＋y，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列 則有 解方程組得y＝，這與y＞2矛盾，故這種情況不存在. 7．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個(gè)數(shù). 分析一：從后三個(gè)數(shù)入手. 解法一：設(shè)所求的四個(gè)數(shù)為 ，x－d，x，x＋d，根據(jù)題意有 ，解得或 ∴所求四個(gè)數(shù)為3，6，12，18或，，，. 分析二：從前三數(shù)入手. 解法二：設(shè)前三個(gè)數(shù)為 ，x，xq，則第四個(gè)數(shù)為2xq－x. 依題設(shè)有，解得或 故所求的四個(gè)數(shù)為3，6，12，18或，，，. 分析三：從首末兩項(xiàng)的和與中間兩項(xiàng)的和入手. 解法三：設(shè)欲求的四數(shù)為x，y，18－y，2－x，由已知得： ，解得或 ∴所求四數(shù)為3，6，12，18或，，，.