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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章《獨立性檢驗》教案1新人教A版選修2-3 一．問題情境 5月31日是世界無煙日。有關(guān)醫(yī)學(xué)研究表明，許多疾病，例如：心臟病、癌癥、腦血管病、慢性阻塞性肺病等都與吸煙有關(guān)，吸煙已成為繼高血壓之后的第二號全球殺手。這些疾病與吸煙有關(guān)的結(jié)論是怎樣得出的呢？我們看一下問題： 1． 某醫(yī)療機(jī)構(gòu)為了了解呼吸道疾病與吸煙是否有關(guān)，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了515個成年人，其中吸煙者220人，不吸煙者295人．調(diào)查結(jié)果是：吸煙的220人中有37人患呼吸道疾?。ê喎Q患病），183人未患呼吸道疾?。ê喎Q未患病）；不吸煙的295人中有21人患病，274人未患?。? 問題：根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定“患呼吸道疾病與吸煙有關(guān)”？ 二．學(xué)生活動 為了研究這個問題，（1）引導(dǎo)學(xué)生將上述數(shù)據(jù)用下表來表示： 患病 未患病 合計 吸煙 37 183 220 不吸煙 21 274 295 合計 58 457 515 （2）估計吸煙者與不吸煙者患病的可能性差異： 在吸煙的人中，有的人患病，在不吸煙的人中，有的人患?。? 問題：由上述結(jié)論能否得出患病與吸煙有關(guān)？把握有多大？ 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．獨立性檢驗： （1）假設(shè)：患病與吸煙沒有關(guān)系． 若將表中“觀測值”用字母表示，則得下表： 患病 未患病 合計 吸煙 不吸煙 合計 （近似的判斷方法：設(shè)，如果成立，則在吸煙的人中患病的比例與 不吸煙的人中患病的比例應(yīng)差不多，由此可得，即，因此，越小，患病與吸煙之間的關(guān)系越弱，否則，關(guān)系越強(qiáng)．） 設(shè)， 在假設(shè)成立的條件下，可以通過求 “吸煙且患病”、“吸煙但未患病”、“不吸煙但患病”、“不吸煙且未患病”的概率（觀測頻率），將各種人群的估計人數(shù)用表示出來． 例如：“吸煙且患病”的估計人數(shù)為； “吸煙但未患病” 的估計人數(shù)為； “不吸煙但患病”的估計人數(shù)為； “不吸煙且未患病”的估計人數(shù)為． 如果實際觀測值與假設(shè)求得的估計值相差不大，就可以認(rèn)為所給數(shù)據(jù)（觀測值）不能否定假設(shè)．否則，應(yīng)認(rèn)為假設(shè)不能接受，即可作出與假設(shè)相反的結(jié)論． （2）卡方統(tǒng)計量： 為了消除樣本對上式的影響，通常用卡方統(tǒng)計量（χ2）來進(jìn)行估計． 卡方χ2統(tǒng)計量公式： χ2 （其中） 由此若成立，即患病與吸煙沒有關(guān)系，則χ2的值應(yīng)該很?。汛胗嬎愕忙?，統(tǒng)計學(xué)中有明確的結(jié)論，在成立的情況下，隨機(jī)事件“” 發(fā)生的概率約為，即，也就是說，在成立的情況下，對統(tǒng)計量χ2進(jìn)行多次觀測，觀測值超過的頻率約為．由此，我們有99%的把握認(rèn)為不成立，即有99%的把握認(rèn)為“患病與吸煙有關(guān)系”． 象以上這種用統(tǒng)計量研究吸煙與患呼吸道疾病是否有關(guān)等問題的方法稱為獨立性檢驗． 說明： （1）估計吸煙者與不吸煙者患病的可能性差異是用頻率估計概率，利用χ2進(jìn)行獨立性檢驗，可以對推斷的正確性的概率作出估計，觀測數(shù)據(jù)取值越大，效果越好．在實際應(yīng)用中，當(dāng)均不小于5，近似的效果才可接受． （2）這里所說的“呼吸道疾病與吸煙有關(guān)系”是一種統(tǒng)計關(guān)系，這種關(guān)系是指“抽煙的人患呼吸道疾病的可能性（風(fēng)險）更大”，而不是說“抽煙的人一定患呼吸道疾病”． （3）在假設(shè)下統(tǒng)計量χ2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到χ2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理（即統(tǒng)計量χ2越大，“兩個分類變量有關(guān)系”的可能性就越大）． 2．獨立性檢驗的一般步驟： 一般地，對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值：類和類（如吸煙與不吸煙），Ⅱ也有兩類取值：類和類（如患呼吸道疾病與不患呼吸道疾病），得到如下表所示： Ⅱ 類 類 合計 Ⅰ 類 類 合計 推斷“Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系”的步驟為： 第一步，提出假設(shè)：兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ沒有關(guān)系； 第二步，根據(jù)22列聯(lián)表和公式計算χ2統(tǒng)計量； 第三步，查對課本中臨界值表，作出判斷． 3．獨立性檢驗與反證法： 反證法原理：在一個已知假設(shè)下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設(shè)不成立； 獨立性檢驗（假設(shè)檢驗）原理：在一個已知假設(shè)下，如果一個與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設(shè)不成立． 四．?dāng)?shù)學(xué)運用 1．例題： 例1．在500人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？ 未感冒 感冒 合計 使用血清 258 242 500 未使用血清 216 284 500 合計 474 526 1000 分析：在使用該種血清的人中，有的人患過感冒；在沒有使用該種血清的人中，有的人患過感冒，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患病率相差較大．從直觀上來看，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患感冒的可能性存在差異． 解：提出假設(shè)：感冒與是否使用該種血清沒有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得 ∵當(dāng)成立時，的概率約為，∴我們有99%的把握認(rèn)為：該種血清能起到預(yù)防感冒的作用． 例2．為研究不同的給藥方式（口服或注射）和藥的效果（有效與無效）是否有關(guān)，進(jìn)行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示．根據(jù)所選擇的193個病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論？ 有效 無效 合計 口服 58 40 98 注射 64 31 95 合計 122 71 193 分析：在口服的病人中，有的人有效；在注射的病人中，有的人有效．從直觀上來看，口服與注射的病人的用藥效果的有效率有一定的差異，能否認(rèn)為用藥效果與用藥方式一定有關(guān)呢？下面用獨立性檢驗的方法加以說明． 解：提出假設(shè)：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得 當(dāng)成立時，的概率大于，這個概率比較大，所以根據(jù)目前的調(diào)查數(shù)據(jù)，不能否定假設(shè)，即不能作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論． 說明：如果觀測值，那么就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系．