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2019-2020年高中數(shù)學 函數(shù)的單調性教案 蘇教版必修1 教學目標： 使學生理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念，掌握判斷某些函數(shù)增減性的方法，培養(yǎng)學生利用數(shù)學概念進行判斷推理的能力和數(shù)形結合，辯證思維的能力；通過本節(jié)課的教學，啟示學生養(yǎng)成細心觀察，認真分析，嚴謹論證的良好思維習慣. 教學重點： 函數(shù)單調性的概念 教學難點： 函數(shù)單調性的判斷和證明. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 ［師］前面我們學習了函數(shù)的概念、表示方法以及區(qū)間的概念，討論了函數(shù)的定義域、值域的求法.今天我們再進一步來研究一下函數(shù)的性質(板書課題). Ⅱ.講授新課 ［師］在初中我們已經(jīng)學習了函數(shù)圖象的畫法，為了研究函數(shù)的性質，按照取值、列表、描點、作圖等步驟分別畫出y＝x2和y＝x3的圖象如圖. 我們先著重來觀察一下y＝x2的圖象，圖象在y軸右側的部分是上升的，也就是說在y軸右側越往右，圖象上的點越高，這說明什么問題呢? ［生］隨著x的增加，y的值在增加 ［師］怎樣用數(shù)學語言來表示呢? ［生］設x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2） 當x1＜x2時，f（x1）＜f（x2） (學生經(jīng)過預習可能答得很準確，但為什么也許還囫圇吞棗；或許答得不一定完整，或許怎樣用數(shù)學語言來表示還感到困惑，教師應抓住時機予以啟發(fā)) ［師］好，同學的回答很好，設x1、x2∈[0，＋∞)，體現(xiàn)了在y軸右側，按照函數(shù)關系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了兩個點(x1，y1)、（x2，y2）而當x1＜x2時，f（x1）＜f（x2），則體現(xiàn)了越往右圖象上的點越高，即體現(xiàn)了圖象是上升的，這時我們說y＝x2在[0，＋∞)上是增函數(shù). 下面大家來看圖象在y軸左側的部分情形是怎樣的? [生甲]圖象在y軸的左側也是上升的(或許生甲是別出心裁). ［師］何以見得? [生甲]越往左，圖象上的點越高. ［師］生甲所談對不對呢? ［生］對(部分同學這樣說，還有部分同學不吭氣，感到和預習時的情況不一樣，但又不清楚究竟該怎樣，有無所適從之感). ［師］生甲同學所述是完全有道理的!不過請同學們注意：他觀察的視線是從右向左看的，為了與在y軸右側部分觀察的視線方向一致.我們對y軸的左側部分也從左向右看，圖象的情形是怎樣的呢? [生甲]從左向右看，圖象是下降的，也就是在y軸的左側，越往右，圖象上的點越低. ［師］我們研究任何問題都要遵循一定的程序，都要在一定的條件下，否則將一塌糊涂，搞不出任何名堂. (或者在研究y軸右側部分、研究y軸左側部分圖象的變化趨勢時，就直載了當?shù)刂赋鲭S著x的增加，圖象的變化趨勢是怎樣的，這樣給學生指定觀察方向，會減少不應有的麻煩) 那么同學們考慮一下，在y軸的左側，越往右，圖象上的點越低，說明什么問題呢?怎樣用數(shù)學語言表示呢? ［生］在y軸右側，越往右圖象上的點越低，說明隨著x的增加，y的值在減小，用數(shù)學語言表示是： 設x1、x2∈（－∞，0）得y1＝f（x1），y2＝f（x2） 當x1＜x2時，f（x1）＞f（x2） ［師］好，這時我們說y＝x2在（－∞，0）上是減函數(shù). 一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為Ⅰ： 如果對于屬于Ⅰ內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).(打出幻燈片2.3.1　C) 如果對于屬于Ⅰ內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù). 如果函數(shù)y＝f（x）在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有嚴格的單調性，這一區(qū)間叫做y＝f（x）的單調區(qū)間，在單調區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的. 注意：①函數(shù)的單調性也叫函數(shù)的增減性. ②函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的，它是一個局部概念. ③判定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性的方法步驟： a.設x1、x2∈給定區(qū)間，且x1＜x2 b.計算f（x1）－f（x2）至最簡 b.判斷上述差的符號 d.下結論(若差＜0，則為增函數(shù)；若差＞0，則為減函數(shù)) Ⅲ.例題分析 ［例1］(課本P34例1，與學生一塊看，一起分析作答) ［師］要了解函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調性，從圖象上進行觀察是一種常用而又粗略的方法，嚴格地說，它需要根據(jù)單調函數(shù)的定義進行證明.下面舉例說明 ［例2］證明函數(shù)f（x）＝3x＋2在R上是增函數(shù). 證明：設任意x1、x2∈R，且x1＜x2 則f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2） 由x1＜x2得x1－x2＜0 ∴f（x1）－f（x2)＜0 即f（x1）＜f（x2） ∴f（x）＝3x＋2在R上是增函數(shù) ［例3］證明函數(shù)f（x）＝在（0，＋∞）上是減函數(shù). 證明：設任意x1、x2∈（0，＋∞）且x1＜x2 則f（x1）－f（x2）＝－＝ 由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0 又x1＜x2 得x2－x1＞0 ∴f（x1）－f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2） ∴f（x）＝在（0，＋∞）上是減函數(shù) 注意：通過觀察圖象、對函數(shù)是否具有某種性質作出一種猜想，然后通過推理的辦法.證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問題的一種常用數(shù)學方法. Ⅳ.課堂練習 課本P37練習1，2，5，6，7 Ⅴ.課時小結 本節(jié)課我們學習了函數(shù)單調性的知識，同學們要切記：單調性是對某個區(qū)間而言的，同時在理解定義的基礎上，要掌握證明函數(shù)單調性的方法步驟，正確進行判斷和證明. Ⅵ.課后作業(yè) 課本P43習題 1~4 函數(shù)的單調性（二） 教學目標： 使學生理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念，掌握判斷某些函數(shù)增減性的方法，培養(yǎng)學生利用數(shù)學概念進行判斷推理的能力和數(shù)形結合，辯證思維的能力；通過本節(jié)課的教學，啟示學生養(yǎng)成細心觀察，認真分析，嚴謹論證的良好思維習慣. 教學重點： 函數(shù)單調性的判斷和證明. 教學難點： 函數(shù)單調性的判斷和證明. 教學過程： ［例1］已知函數(shù)f（x）在其定義域M內為減函數(shù)，且f（x）＞0，則g（x）＝1＋在M內為增函數(shù)。 證明：在定義域M內任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，則： g（x 1）－g（x 2）＝1＋－1－ ＝－＝ ∵對于任意x∈M，有f（x）＞0 ∴ f（x1）f（x2）＞0 ∵f（x）在其定義域M內為減函數(shù)， ∴f（x1）＞f（x2） ∴g（x 1）－g（x 2）＜0 即g（x 1）＜g（x 2） ∴g（x）在M內為增函數(shù) ［例2］函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù),求f（a2－a＋1）與f（）的大小關系? 解：∵f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù) ∵a2－a＋1＝（a－）2＋≥＞0 ∴f（a2－a＋1）≤f（） 評述：體會“等價轉化”思想的運用，注意解題時的層次分明和思路清晰. ［例3］已知函數(shù)f（x）＝在區(qū)間（－2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍。 解：在區(qū)間（－2，+∞）內任取x 1、x 2，使－2＜x 1＜x 2，則： f（x 1）－f（x 2）＝－＝ ∵ f（x 1）＜f（x 2） ∴（2a－1）（x1－x2）＜0 而x 1＜x 2 ∴必須2a－1＞0 即a＞ ［例4］已知函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋a2＋1在區(qū)間（－∞，1）上是減函數(shù)，求a的取值范圍。 解：∵頂點橫坐標為a，且開口向上 ∴a≥1 ［例5］寫出函數(shù)f（x）＝的單調區(qū)間。 解：∵t＝x2－2x－3≥0 ∴x≤－1或x≥3 當x∈（－∞，－1]時：x遞增，t遞減，f（x）遞減 當x∈[3，+∞）時：x遞增，t遞增，f（x）遞增 ∴當x∈（－∞，－1]時，f（x）是減函數(shù)； 當x∈[3，+∞）時，f（x）是增函數(shù). ［例6］判斷函數(shù)f（x）＝的增減情況。 解：設t＝x2－4x，則t≥－4且t≠0 y＝ 當t∈[－4，0]時，y＝遞減；當t∈[0，+∞）時，y＝遞減. 又當x∈[0，4]時，t∈[－4，0] 當x∈（－∞，0）或x∈（4，+∞）時，t∈[0，+∞） ∴當x∈（－∞，0）時，x遞增，t遞減，y遞增 當x∈[0，2]時，x遞增，t遞減，y遞增 當x∈（2，4]時，x遞增，t遞增，y遞減 當x∈（4，+∞）時，x遞增，t遞增，y遞減 ∴當x∈（－∞，0）∪[0，2]時，f（x）是增函數(shù) 當x∈（2，4]∪（4，+∞）時，f（x）是減函數(shù) ［例7］已知f(x)的定義域為（0，＋∞），且在其定義域內為增函數(shù)，滿足f（xy）＝f（x）＋ f（y），f（2）＝1，試解不等式f（x）－f（x－2）＞3. 解：由f（2）＝1及f（xy）＝f（x）＋f（y）可得 3f（2）＝3＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝f（4）＋f（2）＝f（8） ∴f（x）－f（x－2）＞3 ∴f（x）＞f（x－2）＋3＝f（x－2）＋f（8）＝f [8（x－2）] 又函數(shù)f（x）在定義域（0，＋∞）上是增函數(shù) ∴ 即2＜x＜ 評述：（1）例7是利用函數(shù)的單調性解不等式的重要應用，這類問題解決時要特別注意必須首先考慮定義域，進而結合函數(shù)單調性去求不等式的解集.（2）建議在教學中指導學生樹立“定義域優(yōu)先”的原則,即：在解題時必須時時考慮到. ［例8］設f（x）定義在R+上，對于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b） 求證：（1）f（1）＝0；（2）f（ ）＝－f（x）； （3）若x∈（1，+∞）時，f（x）＜0，則f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù). 證明：（1）令a＝b＝1，則： f（1）＝f（1）＋f（1） ∴ f（1）＝0 （2）令a＝x，b＝，則： f（1）＝f（x）＋ f（ ） ∴ f（ ）＝－f（x） （3）令1＜x 1＜x 2，則： －f（x1）＋f（x2）＝f（x2）＋f（ ）＝f（ ） ∵1＜x 1＜x 2 ∴＞1 ∴f（ ）＜0 即f（x1）＞f（x2） ∴ f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù).