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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 直線方程的幾種形式教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容介紹了直線方程的幾種主要形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式，并簡(jiǎn)單介紹了斜截式和截距式．直線方程的點(diǎn)斜式是其他直線方程形式的基礎(chǔ)，因此它是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)．在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，要使學(xué)生理解：（1）建立點(diǎn)斜式的主要依據(jù)是，經(jīng)過(guò)直線上一個(gè)定點(diǎn)與這條直線上任意一點(diǎn)的直線是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程后，要把它變成方程y－y1＝k（x－x1）．因?yàn)榍罢弑硎镜闹本€缺少一個(gè)點(diǎn)P1（x1，y1），而后者才是這條直線的方程．（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式求它的方程，這時(shí)的直線方程為x＝x1．在學(xué)習(xí)了點(diǎn)斜式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步介紹直線方程的其他幾種形式：斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式，并探索它們的適用范圍和相互聯(lián)系與區(qū)別．通過(guò)研究直線方程的幾種形式，指出它們都是關(guān)于x，y的二元一次方程，然后從兩個(gè)方面進(jìn)一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系，使學(xué)生明確一個(gè)重要事實(shí)：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線的方程，都可以寫成關(guān)于x，y的一次方程；反過(guò)來(lái)，任何一個(gè)關(guān)于x，y的一次方程都表示一條直線，為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線和方程”打下基礎(chǔ)．因?yàn)檫@部分內(nèi)容較為抽象，所以它是本節(jié)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)． 教學(xué)目標(biāo) 1. 在“直線與方程”和直線的斜率基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探索由一個(gè)點(diǎn)和斜率推導(dǎo)出直線方程，初步體會(huì)直線方程建立的方法． 2. 理解和掌握直線方程的點(diǎn)斜式，并在此基礎(chǔ)上研究直線方程的其他幾種形式，掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程． 3. 理解直線和二元一次方程的關(guān)系，并能用直線方程解決和研究有關(guān)問(wèn)題． 4. 通過(guò)直線方程幾種形式的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生多向思維的能力． 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了直線方程的概念與直線的斜率基礎(chǔ)上，具體地研究直線方程的幾種形式，而這幾種形式的關(guān)鍵是推導(dǎo)點(diǎn)斜式方程．因此，在推導(dǎo)點(diǎn)斜式方程時(shí)，要使學(xué)生理解：已知直線的斜率和直線上的一個(gè)點(diǎn)，這條直線就確定了，進(jìn)而直線方程也就確定了．求直線方程就是把直線上任一點(diǎn)用斜率和直線上已知點(diǎn)來(lái)表示，這樣由兩點(diǎn)的斜率公式即可推出直線的點(diǎn)斜式方程．在直線的點(diǎn)斜式方程基礎(chǔ)上，由學(xué)生推出直線方程的其他幾種形式，并使學(xué)生明確直線方程各種形式的使用范圍，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．對(duì)于直線和方程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是本節(jié)課的難點(diǎn)，在論證直線和方程的關(guān)系時(shí)，一方面分斜率存在與斜率不存在兩類，另一方面又分B≠0與B＝0兩類．這種“兩分法”的分類，科學(xué)嚴(yán)密，可培養(yǎng)學(xué)生全面系統(tǒng)和周密地討論問(wèn)題的能力． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情境 飛逝的流星形成了一條美麗的弧線，這條弧線可以看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合．在平面直角坐標(biāo)系中，直線也可以看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合．為研究直線問(wèn)題，須要建立直線的方程．直線可由兩點(diǎn)唯一確定，也可由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向來(lái)確定．如果已知直線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率，那么如何建立這條直線的方程呢？ 二、建立模型 1. 教師提出一個(gè)具體的問(wèn)題若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－1，3），斜率為－2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足什么條件？ 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），那么當(dāng)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)（除點(diǎn)A外），點(diǎn)P與定點(diǎn)A確定的直線就是l，它的斜率恒為－2，所以＝－2，即2x＋y－1＝0． 顯然，點(diǎn)A（－1，3）滿足此方程，因此，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐標(biāo)（x，y）滿足方程2x＋y－1＝0． 2. 教師明晰一般地，設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1（x1，y1），且斜率為k，對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P（x，y）（不同于點(diǎn)P1），當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PP1的斜率始終為k，則，即y－y1＝k（x－x1）． 可以驗(yàn)證：直線l上的每個(gè)點(diǎn)（包括點(diǎn)P1）的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；反過(guò)來(lái)，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上，這個(gè)方程就是過(guò)點(diǎn)P1、斜率為k的方程，我們把這個(gè)方程叫作直線的點(diǎn)斜式方程． 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，但因?yàn)橹本€l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x＝x1． 思考：（1）方程與方程y－y1＝k（x－x1）表示同一圖形嗎？ （2）每一條直線都可用點(diǎn)斜式方程表示嗎？ ［例　題］ 求滿足下列條件的直線方程． （1）直線l1：過(guò)點(diǎn)（2，5），k＝－1． （2）直線l2：過(guò)點(diǎn)（0，1），k＝－. （3）直線l3：過(guò)點(diǎn)（2，1）和點(diǎn)（3，4）． （4）直線l4：過(guò)點(diǎn)（2，3）平行于y軸． （5）直線l5：過(guò)點(diǎn)（2，3）平行于x軸． 參考答案：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）y＝3． ［練　習(xí)］ 求下列直線方程． （1）已知直線l的斜率為k，與y軸的交點(diǎn)P（0，b）． （如果直線l的方程為y＝kx＋b，則稱b是直線l在y軸上的截距，這個(gè)方程叫直線的斜截式方程） （2）已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）． （如果直線l的方程為y－y1＝（x－x1），（x1≠x2），則這個(gè)方程叫直線的兩點(diǎn)式方程） （3）已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0． （如果直線l的方程為，（ab≠0），則a，b分別稱為直線l在x軸、y軸上的截距，這個(gè)方程叫直線的截距式方程） 進(jìn)一步思考討論：前面所學(xué)的直線方程的幾種形式都是關(guān)于x，y的二元一次方程，那么任何一條直線的方程是否為關(guān)于x，y的二元一次方程？反過(guò)來(lái)，關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線嗎？ 通過(guò)學(xué)生討論后，師生共同明晰： 在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線的方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程． 事實(shí)上，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，它的方程可寫成y＝kx＋b，它可變形為kx－y＋b＝0，若設(shè)A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化為Ax＋By＋C＝0；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，它的方程可寫成x＝x1，即x－x1＝0，設(shè)A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化為Ax＋By＋C＝0．即任何一條直線的方程都可以表示為Ax＋By＋C＝0；反過(guò)來(lái)，關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0）的圖像是一條直線． 事實(shí)上，對(duì)于方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0），當(dāng)B≠0時(shí)，方程可化為y＝－x－，它表示斜率為－，在y軸上截距為－的直線；當(dāng)B＝0時(shí)，A≠0，方程可化為x＝－，它表示一條與ｙ軸平行或重合的直線． 綜上可知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與關(guān)于x，y的二元一次方程是一一對(duì)應(yīng)的．我們把方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0）叫作直線的一般式方程． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 已知直線l通過(guò)點(diǎn)（－2，5），且斜率為－． （1）求直線的一般式方程． （2）求直線在x軸、y軸上的截距． （3）試畫(huà)出直線l．解答過(guò)程由學(xué)生討論回答，教師適時(shí)點(diǎn)撥． 2. 求直線l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x軸與y軸上的截距． 解：已知直線方程可化為y＝x＋2，所以直線l的斜率為，在y軸上的截距為2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直線在x軸上的截距為－3． ［練　習(xí)］ 1. 求滿足下列條件的直線方程，并畫(huà)出圖形． （1）過(guò)原點(diǎn)，斜率為－2． （2）過(guò)點(diǎn)（0，3），（2，1）． （3）過(guò)點(diǎn)（－2，1），平行于x軸． （4）斜率為－1，在y軸上的截距為5． （5）在x軸、y軸上的截距分別為3，－5． 2. 求過(guò)點(diǎn)（3，－4），且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程． 3. 設(shè)直線l的方程為（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根據(jù)下列條件確定m的值． （1）直線l在x軸上的截距為－3． （2）直線l的斜率為1． （3）直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10． 四、拓展延伸 1. 在直線方程y－1＝k（x－1）中，k取所有實(shí)數(shù)，可得到無(wú)數(shù)條直線，這無(wú)數(shù)條直線具有什么共同特點(diǎn)？ 2. 在直線方程Ax＋By＋C＝0中，當(dāng)A，B，C分別滿足什么條件時(shí)，直線有如下性質(zhì)： （1）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．　　　　（2）與兩坐標(biāo)軸都相交． （3）只與x軸相交．　　　 （4）只與y軸相交． （5）與x軸重合．　　　　 （6）與y軸重合． 3. 直線方程的一般式與幾種特殊形式有什么區(qū)別與聯(lián)系？你能說(shuō)明它們的適用范圍以及相互轉(zhuǎn)化的條件嗎？ 參考答案： 1. 直線過(guò)點(diǎn)（1，1），它不包括直線x＝1． 2. （1）C＝0．A，B不全為0；　　　　 （2）A，B都不為0． （3）A≠0，B＝0，C≠0．　　　　　　 （4）A＝0，B≠0，C≠0． （5）A＝0，B≠0，C＝0．　　　　　 ?。?）A≠0，B＝0，C＝0． 3. 略． 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例在直線與方程和直線的斜率基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)例探索出過(guò)一點(diǎn)且斜率已知的直線的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直線的點(diǎn)斜式方程，在點(diǎn)斜式方程的基礎(chǔ)上由學(xué)生自主的探究出直線方程的其他形式，并研究了幾種直線方程的聯(lián)系與區(qū)別以及它們的適用范圍．在案例的設(shè)計(jì)上注意了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和適用的過(guò)程．在例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)上，注意了層次性和知識(shí)的完整性的結(jié)合，在培養(yǎng)學(xué)生的能力上，注意了數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸、轉(zhuǎn)化、抽象、概括以及函數(shù)與方程的思想．在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、探索研究、分析解決問(wèn)題的能力等方面，做了一些嘗試，體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念，能夠較好地完成本節(jié)的教育教學(xué)任務(wù)．