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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念教學案 新人教B版必修3 預習課本P3～6，思考并完成以下問題 (1)在數(shù)學中算法是如何定義的？ 　 　 (2)算法有哪四種描述方式？ 　 　 　 (3)設計算法的兩個要求是什么？ 　 　 1．算法 (1)概念： 說法①：由基本運算及規(guī)定的運算順序所構成的完整的解題步驟． 說法②：按照要求設計好的有限的確切的計算序列． (2)作用： 這樣的步驟或序列能夠解決一類問題． 2．算法的描述方式 方式 3．設計算法的兩個要求 (1)寫出的算法，必須能解決一類問題，并且能重復使用． (2)算法過程要能一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，而且經(jīng)過有限步后能得出結果． 1．下列敘述不能稱為算法的是(　　) A．從北京到上海先乘汽車到飛機場，再乘飛機到上海 B．解方程4x＋1＝0的過程是先移項再把x的系數(shù)化成1 C．利用公式S＝πr2計算半徑為2的圓的面積得π22 D．解方程x2－2x＋1＝0 答案：D 2．算法的有限性是指(　　) A．算法必須包含輸出 B．算法中每個操作步驟都是可執(zhí)行的 C．算法的步驟必須有限 D．以上說法均不正確 答案：C 3．以下有六個步驟：①撥號；②等撥號音；③提起話筒(或免提功能)；④開始通話或掛機(線路不通)；⑤等復話方信號；⑥結束通話． 寫出一個打本地電話的算法________(只寫序號)． 解析：按照打本地電話的基本操作流程來寫，應是③②①⑤④⑥. 答案：③②①⑤④⑥ 4．給出一個問題的算法 S1　輸入a. S2　若a≥4，則執(zhí)行S3；否則執(zhí)行S4. S3　y＝2a. S4　y＝a2. S5　輸出y. 當輸入的值a＝5時，則輸出的y值為________． 解析：所給問題是求函數(shù)值問題． 已知函數(shù)解析式為y＝所以當a＝5時，y＝10. 答案：10 算法概念的理解 [典例]　以下關于算法的說法正確的是(　　) A．描述算法可以有不同的方式，可用形式語言也可用其它語言 B．算法可以看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列，并且這樣的步驟或序列只能解決當前問題 C．算法過程要一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作必須確切，不能含混不清，而且經(jīng)過有限步或無限步后能得出結果 D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的結果 [解析]　算法可以看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列，并且這樣的步驟或計算序列能夠解決一類問題．算法過程要求一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，只能有唯一結果，而且經(jīng)過有限步后，必須有結果輸出后終止，描述算法可以有不同的語言形式，如自然語言、框圖語言及形式語言等． [答案]　A 有關算法概念的解題策略 (1)判斷題應根據(jù)算法的特點進行求解； (2)步驟要有限，前后有順序，步步都明確．特別注意能在有限步內求解某一類問題，其中的每個步驟必須是明確可行的，不能模棱兩可，對同一個問題可設計不同的算法． [活學活用] 下列各式中S值不可以用算法求解的是(　　) A．S＝1＋2＋3＋4 B．S＝12＋22＋32＋…＋1002 C．S＝1＋＋…＋ D．S＝1＋2＋3＋4＋… 解析：選D　由算法的有限性知，D不正確，而A、B、C都可以通過有限步驟操作，輸出確定結果. 算法的設計 　　[典例]　求兩底半徑分別為2和4，高為4的圓臺的表面積，寫出該問題的算法． [解]　圓臺如圖所示，算法如下： S1　令r1＝2，r2＝4，h＝4. S2　計算l＝. S3　計算S表＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l. S4　輸出運算結果． 設計具體問題的算法的一般步驟 (1)分析問題，找出解決問題的一般數(shù)學方法； (2)借助有關變量或參數(shù)對算法加以表述； (3)將解決問題的過程劃分為若干步驟； (4)用簡練的語言將這個步驟表示出來．　　　　　　 [活學活用] 已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝2x－log2x(x≠0)． (1)寫出求g(f(x))的值的一個算法； (2)若輸入x＝－2，則g(f(x))輸出的結果是什么？ 解：(1)S1　輸入x的值(x≠0)． 　S2　計算y＝x2的值． 　S3　計算z＝2y－log2y的值． 　S4　輸出z的值． (2)當x＝－2時，由上面的算法可知y＝4， z＝24－log24＝14，故輸出的結果為14. 算法在實際生活中的應用 [典例]　到銀行辦理個人異地匯款(不超過100萬元)時，銀行要收取一定的手續(xù)費．匯款額不超過100元，收取1元手續(xù)費，超過100元但不超過5 000元，按匯款額的1%收取手續(xù)費，超過5 000元的一律收取50元手續(xù)費．試寫出匯款額為x元時，計算銀行手續(xù)費的一個算法． [解]　算法步驟如下： S1　輸入自變量x的值； S2　判斷x的范圍，若x≤100，則y＝1，若1002，則執(zhí)行S3. S3　依次從2到(n－1)檢驗能不能整除n，若不能整除n，則執(zhí)行S4；若能整除n，則執(zhí)行S1. S4　輸出n. 滿足條件的n是(　　) A．質數(shù) B．奇數(shù) C．偶數(shù) D．約數(shù) 解析：選A　從題目的條件可以看出，輸出的n沒有約數(shù)，因此是質數(shù)． 5．給出算法步驟如下： S1　輸入x的值； S2　當x<0時，計算y＝x＋1，否則執(zhí)行S3； S3　計算y＝－x2； S4　輸出y. 當輸入x的值為－2,3時，輸出y的結果分別是______． 解析：由算法步驟可知，其算法功能是已知函數(shù)y＝當輸入x的值時，求對應的y值．因為－2<0，所以對應函數(shù)解析式為y＝x＋1，因此y＝－2＋1＝－1；當x＝3時，則對應函數(shù)解析式為y＝－x2，因此y＝－32＝－9. 答案：－1，－9 6．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的步驟是________(填序號)． ①配方得(x－2)2＝1； ②移項得x2－4x＝－3； ③解得x＝1或x＝3； ④開方得x－2＝1. 解析：使用配方法的步驟應按移項、配方、開方、得解的順序進行． 答案：②①④③ 7．已知直角三角形兩條直角邊長分別為a，b(a>b)，寫出求兩直角邊所對的最大角θ的余弦值的算法如下： S1　輸入兩直角邊長a，b的值； S2　計算c＝的值； S3　________________________； S4　輸出cos θ. 將算法補充完整，橫線處應填________________． 解析：根據(jù)題意知，直角三角形兩直角邊a，b(a>b)所對最大角θ的余弦值為，所以應填“計算cos θ＝的值”． 答案：計算cos θ＝的值 8．某居民區(qū)的物業(yè)部門每月向居民收取衛(wèi)生費，計費方法是：3人或3人以下的住戶，每戶收取5元；超過3人的住戶，每超出1人加收1.2元．設計一個算法，根據(jù)輸入的人數(shù)，計算應收取的衛(wèi)生費． 解：設某戶有x人，根據(jù)題意，應收取的衛(wèi)生費y是x的分段函數(shù)，即y＝ 算法如下： S1　輸入人數(shù)x. S2　如果x≤3，則y＝5；如果x>3，則y＝1.2x＋1.4. S3　輸出應收衛(wèi)生費y. 9．已知直線l1：3x－y＋12＝0和直線l2：3x＋2y－6＝0，求直線l1與l2及y軸所圍成的三角形面積，寫出解決本題的一個算法． 解：S1　解方程組得直線l1，l2的交點P(－2,6)． S2　在方程3x－y＋12＝0中令x＝0，得y＝12，從而得到A(0,12)． S3　在方程3x＋2y－6＝0中令x＝0，得y＝3，得到B(0,3)； S4　求出△ABP的底邊長|AB|＝12－3＝9； S5　求出△ABP的底邊AB上的高h＝2； S6　根據(jù)三角形的面積公式計算 S＝|AB|h＝92＝9.