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2019年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 概率、隨機(jī)變量及其分布細(xì)致講解練 理 新人教A版
第1講 隨機(jī)事件的概率
[最新考綱]
1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.
2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.
知 識(shí) 梳 理
1.頻率與概率
(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率.
(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上,把這個(gè)常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率,簡(jiǎn)稱為A的概率.
2.事件的關(guān)系與運(yùn)算
定義
符號(hào)表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B
A=B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A+B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件,則稱事件A與事件B互斥
A∩B=?
對(duì)立事件
若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件
A∩B=?
P(A∪B)=
P(A)+P(B)=1
3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B).
②若事件B與事件A互為對(duì)立事件,則P(A)=1-P(B).
辨 析 感 悟
1.對(duì)隨機(jī)事件概念的理解
(1)“物體在只受重力的作用下會(huì)自由下落”是必然事件.(√)
(2)“方程x2+2x+8=0有兩個(gè)實(shí)根”是不可能事件.(√)
(3)(xx廣州調(diào)研C項(xiàng))“下周六會(huì)下雨”是隨機(jī)事件.(√)
2.對(duì)互斥事件與對(duì)立事件的理解
(4)對(duì)立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對(duì)立事件.(√)
(5)(xx鄭州調(diào)研B項(xiàng))從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1~10各10張)中,任取一張,“抽取黑桃”與“抽取方塊”是對(duì)立事件.()
3.對(duì)頻率與概率的理解
(6)(教材練習(xí)改編)在大量重復(fù)試驗(yàn)中,概率是頻率的穩(wěn)定值.(√)
(7)(教材習(xí)題改編)集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各任意取一個(gè)數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率為.(√)
(8)(xx臨沂調(diào)研改編)甲、乙二人下棋,甲獲勝的概率是0.3,甲不輸?shù)母怕蕿?.8,則甲、乙二人下成和棋的概率為0.5.(√)
[感悟提升]
兩個(gè)區(qū)別 一是“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別:對(duì)立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對(duì)立事件,“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件,如(5)中為互斥事件.
二是“頻率”與“概率”:頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別,不可混為一談.頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化,概率卻是一個(gè)常數(shù),它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí),頻率向概率靠近,只要次數(shù)足夠多,所得頻率就可以近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率.
學(xué)生用書第179頁(yè)
考點(diǎn)一 事件的關(guān)系與運(yùn)算
【例1】 一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次,設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4,則( ).
A.A與B是互斥而非對(duì)立事件
B.A與B是對(duì)立事件
C.B與C是互斥而非對(duì)立事件
D.B與C是對(duì)立事件
解析 根據(jù)互斥與對(duì)立的定義作答,A∩B={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3},事件A,B不互斥更不對(duì)立;B∩C=?,B∪C=Ω(Ω為必然事件),故事件B,C是對(duì)立事件.
答案 D
規(guī)律方法 對(duì)互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生,而對(duì)于對(duì)立事件除不能同時(shí)發(fā)生外,其并事件應(yīng)為必然事件,這些也可類比集合進(jìn)行理解,具體應(yīng)用時(shí),可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來(lái),看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系.
【訓(xùn)練1】 對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈.設(shè)A={兩次都擊中飛機(jī)},B={兩次都沒擊中飛機(jī)},C={恰有一次擊中飛機(jī)},D={至少有一次擊中飛機(jī)},其中彼此互斥的事件是________,互為對(duì)立事件的是________.
解析 設(shè)I為對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況,因?yàn)锳∩B=?,A∩C=?,B∩C=?,B∩D=?.故A與B,A與C,B與C,B與D為彼此互斥事件,而B∩D=?,B∪D=I,故B與D互為對(duì)立事件.
答案 A與B,A與C,B與C,B與D B與D
考點(diǎn)二 隨機(jī)事件的概率與頻率
【例2】 某小型超市發(fā)現(xiàn)每天營(yíng)業(yè)額Y(單位:萬(wàn)元)與當(dāng)天進(jìn)超市顧客人數(shù)X有關(guān).據(jù)統(tǒng)計(jì),當(dāng)X=700時(shí),Y=4.6;當(dāng)X每增加10,Y增加0.05.已知近20天X的值為:1 400,1 100,1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600,1 900,1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600,1 900,700.
(1)完成如下的頻率分布表:
近20天每天進(jìn)超市顧客人數(shù)頻率分布表
人數(shù)
700
1 100
1 400
1 600
1 900
2 200
頻率
(2)假定今天進(jìn)超市顧客人數(shù)與近20天進(jìn)超市顧客人數(shù)的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今天營(yíng)業(yè)額低于10.6萬(wàn)元高于4.6萬(wàn)元的概率.
解 (1)在所給數(shù)據(jù)中,進(jìn)超市顧客人數(shù)為1 100的有3個(gè),為1 600的有7個(gè),為1 900的有3個(gè),為2 200的有2個(gè).故近20天每天進(jìn)超市顧客人數(shù)頻率分布表為
人數(shù)
700
1 100
1 400
1 600
1 900
2 200
頻率
(2)由已知可得Y=4.6+0.05=X+1.1,
∵4.6
0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.
(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值;
(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
[錯(cuò)解] (1)數(shù)量積X的所有可能取值為-1,0,1.
(2)X=0時(shí),有,,共2種情況;
X=1時(shí),有,,,,共4種情況;
X=-1時(shí),有,,共2種情況,
∴所有基本事件總數(shù)n=2+4+2=8.
因此,小波去下棋的概率p1==,
小波唱歌的概率p2==,從而不去唱歌的概率p=1-p2=.
[錯(cuò)因] (1)沒能準(zhǔn)確計(jì)算出X的所有可能值,由數(shù)量積的運(yùn)算知X可能?。?,-1,0,1,忽視=-2.
(2)基本事件列舉不全面,思維定勢(shì),如X=-1,盲目認(rèn)為向量共線,遺漏向量夾角為π的4種情形.
[正解] (1)X的所有可能取值為-2,-1,0,1.
(2)數(shù)量積為-2的有,共1種,
數(shù)量積為-1的有,,,,,,共6種.
數(shù)量積為0的有,,,,共4種情形.
數(shù)量積為1的有,,,,共4種情形.
故所有可能的情況共有15種.
所以小波去下棋的概率為p1=;
因?yàn)槿コ璧母怕蕿閜2=,
所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-=.
[防范措施] (1)準(zhǔn)確理解題意,向量數(shù)量積由向量的模、夾角共同確定,要考慮各種情形,注意分類求解.
(2)計(jì)算基本事件總數(shù)時(shí),畫出幾何圖形、樹形圖、分類列舉法、坐標(biāo)網(wǎng)格法是克服此類錯(cuò)誤的有效手段.
【自主體驗(yàn)】
1.(xx安徽卷)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等,則甲或乙被錄用的概率為( ).
A. B. C. D.
解析 設(shè)事件“甲或乙被錄用”為事件A,則表示甲、乙都沒被錄用,由古典概型,P()==,∴P(A)=1-=.
答案 D
2.(xx江蘇卷)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為________.
解析 因1≤m≤7,1≤n≤9且m,n∈N*,∴m為正奇數(shù)有4種情形,n為正奇數(shù)有5種,因此所求事件的概率P==.
答案
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P367
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí):40分鐘)
一、選擇題
1.一個(gè)壇子里有編號(hào)為1,2,…,12的12個(gè)大小相同的球,其中1到6號(hào)球是紅球,其余的是黑球,若從中任取兩個(gè)球,則取到的都是紅球,且至少有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率為( ).
A. B. C. D.
解析 基本事件總數(shù)為C,事件包含的基本事件數(shù)為C-C,故所求的概率為P==.
答案 D
2.一名同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次,第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x,第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y,在直角坐標(biāo)系xOy中,以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x+y=8上的概率為( ).
A. B. C. D.
解析 依題意,以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共66=36個(gè),其中落在直線2x+y=8上的點(diǎn)有(1,6),(2,4),(3,2),共3個(gè),故所求事件的概率P==.
答案 B
3.(xx杭州模擬)從個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè),其個(gè)位數(shù)為0的概率是( ).
A. B. C. D.
解析 (1)當(dāng)個(gè)位為奇數(shù)時(shí),有54=20(個(gè))符合條件的兩位數(shù).
(2)當(dāng)個(gè)位為偶數(shù)時(shí),有55=25(個(gè))符合條件的兩位數(shù).
因此共有20+25=45(個(gè))符合條件的兩位數(shù),其中個(gè)位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個(gè),所以所求概率為P==.
答案 D
4.甲、乙兩人一起到阿里山參觀旅游,他們約定,各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽,每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí),則最后1小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是( ).
A. B. C. D.
解析 甲、乙兩人任選4個(gè)景點(diǎn)游覽,共有AA種游覽方案,又甲、乙最后1小時(shí)在同一景點(diǎn)有CAA種可能.∴所求事件的概率P==.
答案 D
5.(xx濟(jì)南質(zhì)檢)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目,則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是( ).
A. B. C. D.
解析 三位同學(xué)每人選擇三項(xiàng)中的兩項(xiàng)有CCC=333=27種選法,其中有且僅有兩人所選項(xiàng)目完全相同的有CCC=332=18(種)選法.∴所求概率為P==.
答案 A
二、填空題
6.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球,其中紅色球3個(gè),黃色球2個(gè).若從中隨機(jī)取出2個(gè)球,則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于________.
解析 從5個(gè)球中任取2個(gè)球有C=10(種)取法,2個(gè)球顏色不同的取法有CC=6(種).故所求事件的概率P==.
答案
7.在集合{x|x=,n=1,2,3,…,10}中任取一個(gè)元素,所取元素恰好滿足方程cos x=的概率是________.
解析 基本事件總數(shù)為10,滿足方程cos x=的基本事件數(shù)為2,故所求概率為P==.
答案
8.某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子,得到點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則雙曲線-=1的離心率e>的概率是________.
解析 由e= >,得b>2a,當(dāng)a=1時(shí),b=3,4,5,6四種情況;當(dāng)a=2時(shí),b=5,6兩種情況,總共有6種情況.又同時(shí)擲兩顆骰子,得到的點(diǎn)數(shù)(a,b)共有36種結(jié)果.∴所求事件的概率P==.
答案
三、解答題
9.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名,求選出的2名教師性別相同的概率;
(2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名,求選出的2名老師來(lái)自同一學(xué)校的概率.
解 (1)從甲、乙兩校報(bào)名的教師中各選1名,共有n=CC=9種選法.
記“2名教師性別相同”為事件A,則事件A包含基本事件總數(shù)m=C1+C1=4,∴P(A)==.
(2)從報(bào)名的6人中任選2名,有n=C=15種選法.
記“選出的2名老師來(lái)自同一學(xué)?!睘槭录﨎,則事件B包含基本事件總數(shù)m=2C=6.
∴選出2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率P(B)==.
10.(xx鄭州質(zhì)檢)某地區(qū)有小學(xué)21所,中學(xué)14所,大學(xué)7所,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.
(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目;
(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析,求抽到小學(xué)、中學(xué)各一所的概率.
解 (1)由分層抽樣定義知,
從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6=3;
從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6=2;
從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6=1.
故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.
(2)記“抽到小學(xué)、中學(xué)各一所”為事件A,
則事件A共有基本事件m=CC=6(種)抽法,
又從6所學(xué)校任抽取2所有n=C=15種抽法.
因此,所求事件的概率P===.
能力提升題組
(建議用時(shí):25分鐘)
一、選擇題
1.連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,記向量a=(m,n)與向量b=(1,-1)的夾角為θ.則θ∈的概率是( ).
A. B. C. D.
解析 ∵cos θ=,θ∈,
∴m≥n滿足條件,m=n的概率為=.
m>n的概率為=.
∴θ∈的概率為+=.
答案 C
2.(xx合肥模擬)有5本不同的書,其中語(yǔ)文書2本,數(shù)學(xué)書2本,物理書1本,若將其隨機(jī)地抽取并排擺放在書架的同一層上,則同一科目的書都不相鄰的概率是( ).
A. B. C. D.
解析 第一步先排語(yǔ)文書有A=2(種)排法.第二步排物理書,分成兩類.一類是物理書放在語(yǔ)文書之間,有1種排法,這時(shí)數(shù)學(xué)書可從4個(gè)空中選兩個(gè)進(jìn)行排列,有A=12(種)排法;一類是物理書不放在語(yǔ)文書之間有2種排法,再選一本數(shù)學(xué)書放在語(yǔ)文書之間有2種排法,另一本有3種排法.因此同一科目的書都不相鄰共有2(12+223)=48(種)排法,而5本書全排列共有A=120(種),
所以同一科目的書都不相鄰的概率是=.
答案 B
二、填空題
3.某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié),則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為________(用數(shù)字作答).
解析 法一 6節(jié)課的全排列為A種,相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法是:先排三節(jié)文化課,再利用插空法排藝術(shù)課,即為(ACAA+2AA)種,由古典概型概率公式得P(A)==.
法二 6節(jié)課的全排列為A種,先排三節(jié)藝術(shù)課有A種不同方法,同時(shí)產(chǎn)生四個(gè)空,再利用插空法排文化課共有A種不同方法,故由古典概型概率公式得P(A)==.
答案
三、解答題
4.現(xiàn)有8名xx年倫敦奧運(yùn)會(huì)志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通曉日語(yǔ),B1,B2,B3通曉俄語(yǔ),C1,C2通曉韓語(yǔ).從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名,組成一個(gè)小組.
(1)求A1被選中的概率;
(2)求B1和C1不全被選中的概率.
解 (1)從8人中選出日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件共有CCC=18個(gè),
由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的.
記“A1恰被選中”為事件M,則M發(fā)生共有CC=6個(gè)基本事件.
因而P(M)==.
(2)用N表示“B1,C1不全被選中”這一事件,則其對(duì)立事件表示“B1,C1全被選中”這一事件,由于包含(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3個(gè)結(jié)果,事件有3個(gè)基本事件組成,所以P()==,由對(duì)立事件的概率公式得P(N)=1-P()=1-=.
學(xué)生用書第185頁(yè)
第3講 幾何概型
[最新考綱]
1.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.
2.了解幾何概型的意義.
知 識(shí) 梳 理
幾何概型
(1)定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.
(2)特點(diǎn):①無(wú)限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè);
②等可能性:每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.
(3)公式:
P(A)=.
辨 析 感 悟
1.對(duì)幾何概型的理解
(1)(教材習(xí)題改編)幾何概型中,每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等.(√)
(2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.(√)
(3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).()
2.幾何概型的計(jì)算
(4)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù),取到1的概率是P=.()
(5)(xx福建卷改編)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a,則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為.(√)
[感悟提升]
1.一個(gè)區(qū)別 “幾何概型”與“古典概型”的區(qū)別:基本事件的個(gè)數(shù)前者是無(wú)限的,后者是有限的.
2.一點(diǎn)提醒 幾何概型的試驗(yàn)中,事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無(wú)關(guān),如(3).
學(xué)生用書第186頁(yè)
考點(diǎn)一 與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型
【例1】 (1)(xx湖北卷)在區(qū)間[-2,4
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