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2019-2020年高中數(shù)學 2.2第2課時 等差數(shù)列的性質(zhì)練習 新人教A版必修5 一、選擇題 1．等差數(shù)列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，則a11＝(　　) A．64　　 B．30　　 C．31　　 D．15 [答案]　D [解析]　解法一：∵，∴， ∴，∴a11＝a1＋10d＝15. 解法二：∵6＋9＝4＋11， ∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15. 2．如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14 B．21 C．28 D．35 [答案]　C [解析]　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4. 又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. 3．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(　　) A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a100<0 C．a(chǎn)3＋a100≤0 D．a(chǎn)51＝0 [答案]　D [解析]　由題設(shè)a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0， ∴a51＝0. 4．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于(　　) A．－1 B．1 C．3 D．7 [答案]　B [解析]　∵{an}是等差數(shù)列， ∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33， ∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1. 5．(xx陜西省質(zhì)量監(jiān)測)已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若akak＋1<0，則正整數(shù)k＝(　　) A．24 B．23 C．22 D．21 [答案]　B [解析]　由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－，所以數(shù)列{an}為首項a1＝15，公差d＝－的等差數(shù)列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋，則由akak＋1<0得ak>0，ak＋1<0，令an＝－n＋＝0得n＝，所以a23>0，a24<0，所以k＝23，故選B． 6．設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13等于(　　) A．120 B．105 C．90 D．75 [答案]　B [解析]　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5， 又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16， ∵d>0，∴d＝3. 則a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105. 二、填空題 7．等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，則a5＋a8＝__________. [答案]　18 [分析]　利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，或整體考慮問題，求出2a1＋11d的值． [解析]　解法1：根據(jù)題意，有 (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36， ∴4a1＋22d＝36，則2a1＋11d＝18. ∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18. 解法2：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可得 a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝362＝18. 8．已知等差數(shù)列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的兩根，則a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________. [答案]　15 [解析]　∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝6＝15. 三、解答題 9．已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通項公式． [解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得 a3＋a7＝a4＋a6＝－4， 又∵a3a7＝－12， ∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的兩根． 又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2. ∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2. ∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12. 10．四個數(shù)成等差數(shù)列，其平方和為94，第一個數(shù)與第四個數(shù)的積比第二個數(shù)與第三個數(shù)的積少18，求此四個數(shù)． [解析]　設(shè)四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，據(jù)題意得， (a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94 ?2a2＋10d2＝47.① 又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18?8d2＝18?d＝代入①得a＝，故所求四數(shù)為8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 一、選擇題 11．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么數(shù)列{an＋bn}的第37項為(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 [答案]　C [解析]　∵數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列， ∴{an＋bn}也是等差數(shù)列． 又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100， ∴{an＋bn}的公差為0， ∴數(shù)列{an＋bn}的第37項為100. 12．數(shù)列{an}中，a2＝2，a6＝0且數(shù)列{}是等差數(shù)列，則a4等于(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　令bn＝，則b2＝＝，b6＝＝1， 由條件知{bn}是等差數(shù)列， ∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝， ∴d＝，∴b4＝b2＋2d＝＋2＝， ∵b4＝，∴a4＝. 13．(xx北京理，6)設(shè){an}是等差數(shù)列．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0 C．若0＜a1＜a2，則a2＞ D．若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0 [答案]　C [解析]　考查等差數(shù)列通項公式；作差比較法． 先分析四個答案，A舉一反例a1＝2，a2＝－1，則a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A錯誤；B舉同樣反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B錯誤；下面針對C進行研究，{an}是等差數(shù)列，若00，設(shè)公差為d，則d>0，數(shù)列各項均為正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，則a>a1a3?a2>，選C． 14．下列命題中正確的個數(shù)是(　　) (1)若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2一定成等差數(shù)列； (2)若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c可能成等差數(shù)列； (3)若a，b，c成等差數(shù)列，則ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差數(shù)列； (4)若a，b，c成等差數(shù)列，則，，可能成等差數(shù)列． A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 [答案]　B [解析]　對于(1)取a＝1，b＝2，c＝3?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)錯． 對于(2)，a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正確； 對于(3)，∵a，b，c成等差數(shù)列， ∴a＋c＝2b. ∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4 ＝2(kb＋2)，(3)正確； 對于(4)，a＝b＝c≠0?＝＝，(4)正確，綜上選B． [點評]　等差數(shù)列的性質(zhì) (1)等差數(shù)列的項的對稱性 在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…… (2)若{an}、{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有 數(shù)列 結(jié)論 {c＋an} 公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)) {can} 公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)) {pan＋qbn} 公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q)為常數(shù) (3){an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；d<0?{an}為遞減數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列． 二、填空題 15．若x≠y，兩個數(shù)列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差數(shù)列，則＝________. [答案]　 [解析]　設(shè)兩個等差數(shù)列的公差分別為d1，d2， 由已知，得即 解得＝，即＝＝. 16．已知△ABC的一個內(nèi)角為120，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為________． [答案]　15 [解析]　設(shè)△ABC的三邊長為a－4，a，a＋4(a>4)， 則＝－， 解得a＝10，三邊長分別為6,10,14. 所以S△ABC＝610＝15. 三、解答題 17．在△ABC中，三邊a、b、c成等差數(shù)列，、、也成等差數(shù)列，求證△ABC為正三角形． [證明]　∵＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b，又∵a＋c＝2b，∴＝b，故(－)2＝0， ∴a＝b＝c.故△ABC為正三角形． 18．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝()an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通項an. [解析]　∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1()a2()a3＝. ∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3， 又{an}成等差數(shù)列∴a2＝1，a1＋a3＝2， ∴b1b3＝，b1＋b3＝， ∴或，即或， ∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.