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2019-2020年高中數學 2.31《用二分法求方程的近似解》教案 蘇教版必修1 【學習導航】 知識網絡 學習要求 1．通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數與方程之間的聯系及其在實際問題中的應用； 2．能借助計算器用二分法求方程的近似解； 3．體會數學逼近過程，感受精確與近似的相對統一． 自學評價 1．二分法 對于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿足的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 2．給定精度，用二分法求函數的零點近似值的步驟如下： （1）確定區(qū)間，驗證，給定精度； （2）求區(qū)間的中點； （3）計算： ①若=，則就是函數的零點； ② 若<，則令=（此時零點）； ③若<，則令=（此時零點）； （4）判斷是否達到精度：即若，則得到零點值（或）；否則重復步驟2~4． 【精典范例】 例1：利用計算器，求方程的一個近似解（精確到0.1）． 【解】設， 先畫出函數圖象的簡圖. (如右圖所示) 因為 ， 所以在區(qū)間內，方程有一解，記為.取與的平均數，因為 ， 所以 . 再取與的平均數，因為， 所以 . 如此繼續(xù)下去，得 ，因為與精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為 . 利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個近似解. 點評:①第一步確定零點所在的大致區(qū)間，可利用函數性質，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通常可確定一個長度為1的區(qū)間； ②建議列表樣式如下： 零點所在區(qū)間 區(qū)間中點函數值 區(qū)間長度 1 0.5 0.25 0.125 如此列表的優(yōu)勢：計算步數明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步． 例2：利用計算器，求方程的近似解（精確到0.1）． 分析：分別畫函數和 的圖象，在兩個函數圖象的交點處，函數值相等．因此，這個點的橫坐標就是方程的解．由函數與的圖象可以發(fā)現，方程有惟一解，記為，并且這個解在區(qū)間內. 【解】設，利用計算器計算得 因為與精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為 . 思考:發(fā)現計算的結果約穩(wěn)定在.這實際上是求方程近似解的另一種方法——迭代法． 除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法還有牛頓切線法、弦切法等． 例3：利用計算器，求方程的近似解（精確到0.1）． 【解】方程 可以化為． 分別畫函數 與的圖象，由圖象可以知道，方程的解在區(qū)間內，那么對于區(qū)間，利用二分法就可以求得它的近似解為. 追蹤訓練一 1. 設是方程的解，則所在的區(qū)間為 （ B ） A． B． C． D． 2. 估算方程的正根所在的區(qū)間是 （ B ） A． B． C． D． 3．計算器求得方程的負根所在的區(qū)間是（ A ） A．（，0） B． C． D． 4.利用計算器,求下列方程的近似解(精確到) (1) (2) 答案: (1)(2), 【選修延伸】 一、含字母系數的二次函數問題 例4：二次函數中實數、、滿足，其中，求證： （1）)； （2）方程在內恒有解． 分析：本題的巧妙之處在于，第一小題提供了有益的依據：是區(qū)間 內的數，且，這就啟發(fā)我們把區(qū)間 劃分為(，)和（，）來處理． 【解】（1） ， 由于是二次函數,故，又，所以，． ⑵ 由題意，得, ． ①當時，由（1）知 若，則，又,所以 在（，）內有解． 若，則 ，又，所以在（,）內有解． ②當時同理可證． 點評：（1）題目點明是“二次函數”，這就暗示著二次項系數．若將題中的“二次”兩個字去掉，所證結論相應更改． （2）對字母、分類時先對哪個分類是有一定講究的，本題的證明中，先對分類，然后對分類顯然是比較好． 追蹤訓練二 1．若方程在內恰有一則實數的取值范圍是 (B ) A． B． C． D． 2.方程的兩個根分別在區(qū)間和內，則的取值范圍是； 3．已知函數，在上存在，使，則實數的取值范圍是_________________． 4．已知函數 ⑴試求函數的零點； ⑵是否存在自然數，使？若存在，求出，若不存在，請說明理由． 答案：（1）函數的零點為； （2）計算得，， 由函數的單調性，可知不存在自然數，使成立． 第31課用二分法求方程的近似解 分層訓練 1．已知函數的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間上單調，若，則方程在區(qū)間上 （ ） A．至少有一實根 B．至多有一實根 C．沒有實根 D．必有唯一的實根 2．方程的解的個數是（ ） A． B． C． D． 3．函數有零點的區(qū)間是（ ） A． B． C． D． 4．方程的兩根均大于，則實數的取值范圍是 ． 5．利用計算器用二分法求方程的近似解（精確到）． 6．下列方程在區(qū)間內存在實數解的是（ ） A． B． C． D． 7．已知方程在上有根，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 8．若二次函數 的兩個實數根一個在區(qū)間內，另一個在區(qū)間內，則實數的取值范圍是 ． 9．求實數的取值范圍，使得的根分別滿足下列條件： （1）一根大于，另一根小于； （2）一根在區(qū)間內，另一根在區(qū)間內． 10．方程的兩個實根都在區(qū)間內，求實數的取值范圍． 拓展延伸 11．方程在上有實數根，求的取值范圍． 12．已知的不等式的解區(qū)間是，求的值．