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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3第2課時 等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用練習(xí) 新人教A版必修5
一、選擇題
1．(xx唐山市二模)在等差數(shù)列{an}中，a7＝8，前7項和S7＝42，則其公差是( )
A．－ B．－
C． D．
[答案] D
[解析] ∵S7＝7a4＝42，∴a4＝6，∴d＝＝，故選D．
2．(xx河南六市聯(lián)考、江西質(zhì)監(jiān))在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，則k＝( )
A．22 B．23
C．24 D．25
[答案] A
[解析] 由已知得：a1＋(k－1)d＝7a1＋d，即k－1＝21，∴k＝22.
3.＋＋＋…＋＝( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(－)＝，故選B．
4．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
[答案] B
[解析] 由題設(shè)求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以當(dāng)n＝20時Sn最大．故選B．
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，若a1>0，S4＝S8，則當(dāng)Sn取得最大值時，n的值為( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] B
[解析] 解法一：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0，且a1＝d，∴an＝－d＋(n－1)d＝nd－d，由，
得，∴5
0，S4＝S8，
∴d<0且a5＋a6＋a7＋a8＝0，
∴a6＋a7＝0，∴a6>0，a7<0，
∴前六項之和S6取最大值．
6．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列{}的前100項和為( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的運用，以及裂項求和的綜合應(yīng)用．
∵a5＝5，S5＝15
∴＝15，∴a1＝1.
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
則數(shù)列{}的前100項的和為：T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
故選A．
二、填空題
7．(xx北京理，12)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時，{an}的前n項和最大．
[答案] 8
[解析] 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和．
由等差數(shù)列的性質(zhì)，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，于是有a8>0，a8＋a9<0，故a9<0，故S8>S7，S90公差d<0，{an}是一個遞減的等差數(shù)列，前n項和有最大值，a1<0，公差d>0，{an}是一個遞增的等差數(shù)列，前n項和有最小值．
8．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則S10的值為________．
[答案] 110
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.
a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，
∴解得d＝－2，a1＝20.
∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.
三、解答題
9．在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，前5項的和S5＝－15，
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和的最小值，并指出何時取得最小值．
[解析] (1)設(shè){an}的首項，公差分別為a1，d.
則
解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)
＝(n－)2－，
∴當(dāng)n＝3或4時，前n項和取得最小值為－18.
[點評] 由于(2)問不僅求何時取到最小值，還問最小值是多少，故應(yīng)當(dāng)用Sn討論以減少運算量．
10．已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項和為Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，
∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.
∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)∵an＝2n＋1，
∴a－1＝4n(n＋1)，
∴bn＝＝(－)．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝，
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝.
一、選擇題
11．一個凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為120，公差為5，那么這個多邊形的邊數(shù)n等于( )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
[答案] C
[解析] an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N*，
由n邊形內(nèi)角和定理得，
(n－2)180＝n120＋5.
解得n＝16或n＝9
∵n<13，∴n＝9.
12．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若<－1，且它們的前n項和Sn有最大值，則使得Sn>0的最大值n為( )
A．11 B．19
C．20 D．21
[答案] B
[解析] ∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，
∵<－1，
∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)<0，
又S19＝＝19a10>0，故選B．
13．等差數(shù)列{an}中，a1＝－5，它的前11項的平均值是5，若從中抽取1項，余下的10項的平均值為4，則抽取的項是( )
A．a(chǎn)8 B．a(chǎn)9
C．a(chǎn)10 D．a(chǎn)11
[答案] D
[解析] S11＝511＝55＝11a1＋d＝55d－55，
∴d＝2，S11－x＝410＝40，∴x＝15，
又a1＝－5，由ak＝－5＋2(k－1)＝15得k＝11.
14．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且S5S8，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A．d<0 B．a(chǎn)7＝0
C．S9>S5 D．S6與S7均為Sn的最大值
[答案] C
[解析] 由S50，由S6＝S7知a7＝0，
由S7>S8知a8<0，C選項S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，顯然錯誤．
15．設(shè){an}是遞減的等差數(shù)列，前三項的和是15，前三項的積是105，當(dāng)該數(shù)列的前n項和最大時，n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] A
[解析] ∵{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝105，
∴a1a3＝21，由及{an}遞減可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴選A．
二、填空題
16．等差數(shù)列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，則數(shù)列{an}的前n項和取最大值時，n的值為______________．
[答案] 5或6
[解析]
∵a1＋a11＝a3＋a9＝0，
∴S11＝＝0，
根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，由于n∈N*，所以當(dāng)n＝5或n＝6時Sn取最大值．
三、解答題
17．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由．
[解析] (1)依題意，
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.③
將③分別代入②①，得，
解得－0且an＋1<0，則Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得
a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
18．一等差數(shù)列共有偶數(shù)項，且奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和分別為24和30，最后一項與第一項之差為10.5，求此數(shù)列的首項、公差以及項數(shù)．
[解析] 解法1：設(shè)此數(shù)列的首項a1，公差d，項數(shù)2k(k∈N*)．
根據(jù)題意，得，即
∴，解得.
由S奇＝(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝.
∴此數(shù)列的首項為，公差為，項數(shù)為8.
解法二：設(shè)此數(shù)列的首項為a1，公差為d，項數(shù)為2k(k∈N*)，
根據(jù)題意，得
即∴
解得
∴此數(shù)列的首項為，公差為，項數(shù)為8.
[點評] 注意整體思想的運用．
在等差數(shù)列綜合問題求解過程中，經(jīng)常需要設(shè)出某些量，但實際解答過程中，并不需要求出這些量，而是利用等差數(shù)列及其和的性質(zhì)，整體代換消去，向已知量轉(zhuǎn)化，以簡化解題過程．解法1運用整體思想解答比解法2顯得簡捷．
精練習(xí)下題：(1)等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求S13.
(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為377，項數(shù)n為奇數(shù)，且前n項中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為76，求中間項．
分析：(1)根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，運用整體思想解決．(2)利用等差數(shù)列前n項和性質(zhì)中關(guān)于奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關(guān)系求解．
解：(1)因為a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，a2＋a7＋a12＝24，
所以a7＝8.
所以S13＝＝138＝104.
(2)因為n為奇數(shù)，所以＝＝，解得n＝13.
所以S13＝13a7＝377.所以a7＝29.
故所求的中間項為29.
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