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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5平面向量應(yīng)用舉例教案 新人教A版必修4 一、教材分析 向量概念有明確的物理背景和幾何背景，物理背景是力、速度、加速度等，幾何背景是有向線段，可以說(shuō)向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來(lái)的，正因?yàn)槿绱?，運(yùn)用向量可以解決一些物理和幾何問(wèn)題，例如利用向量計(jì)算力沿某方向所做的功，利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關(guān)系的判定等問(wèn)題。 二、教學(xué)目標(biāo) 1.通過(guò)應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問(wèn)題的兩種方法-----向量法和坐 標(biāo)法，可以用向量知識(shí)研究物理中的相關(guān)問(wèn)題的“四環(huán)節(jié)” 和生活中的實(shí)際問(wèn)題 2.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問(wèn)題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的 積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。 三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何和物理問(wèn)題. 難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，將幾何?wèn)題或者物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題加以解決. 四、學(xué)情分析 在平面幾何中，平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，而在物理中，受力分析則是其中最基本的基礎(chǔ)知識(shí)，那么在本節(jié)的學(xué)習(xí)中，借助這些對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，非常熟悉的內(nèi)容來(lái)講解向量在幾何與物理問(wèn)題中的應(yīng)用。 五、教學(xué)方法 1.例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。 2.學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見(jiàn)后面的學(xué)案 3.新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)→合作探究、精講點(diǎn)撥→反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)→發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí) 六、課前準(zhǔn)備 1.學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)本節(jié)課本上的基本內(nèi)容，初步理解向量在平面幾何和物理中的 應(yīng)用 2.教師的教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。 七、課時(shí)安排：1課時(shí) 八、教學(xué)過(guò)程 (一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑 檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。 (二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo) 教師首先提問(wèn)：（1）若O為重心,則++= （2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個(gè)四邊形 為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系? (3) 兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.為什么？ 教師：本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何和物理問(wèn)題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決平面幾何和物理問(wèn)題的步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過(guò)程中的疑惑說(shuō)出來(lái)。 （設(shè)計(jì)意圖：步步導(dǎo)入，吸引學(xué)生的注意力，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。） （三）合作探究、精講點(diǎn)撥。 探究一：（１）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論＂若，則，且所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會(huì)？（２）由學(xué)生舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例． 教師：平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)： 例如，向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)著幾何中的長(zhǎng)度.如圖： 平行四邊行中，設(shè)＝,＝，則（平移），，（長(zhǎng)度）．向量，的夾角為.因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問(wèn)題。通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等．把運(yùn)算結(jié)果＂翻譯＂成幾何關(guān)系．本節(jié)課，我們就通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，來(lái)說(shuō)明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用 例1．證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和． 已知：平行四邊形ABCD． 求證：． 分析：用向量方法解決涉及長(zhǎng)度、夾角的問(wèn)題時(shí)，我們常常要考慮向量的數(shù)量積．注意到， ，我們計(jì)算和． 證明：不妨設(shè)a，b，則 a+b，a-b，|a|2，|b|2． 得 ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2． ① 同理　　　|a|2-2ab+|b|2． ② ①+②得 2(|a|2+|b|2)=2()． 所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和． 師：你能用幾何方法解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 讓學(xué)生體會(huì)幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。 師：由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問(wèn)題時(shí)具有優(yōu)越性，他把一個(gè)思辨過(guò)程變成了一個(gè)算法過(guò)程，可以按照一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問(wèn)題的難度. 用向量方法解決平面幾何問(wèn)題，主要是下面三個(gè)步驟， ⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題； ⑵通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題； ⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 變式訓(xùn)練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)（1）證明A、O、E三點(diǎn)共線；（2）用表示向量。 例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？ 分析：由于R、T是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可． 解：設(shè)a，b，則a+b． 由　與共線，因此。存在實(shí)數(shù)m，使得 =m(a+b)． 又　由與共線 因此 　存在實(shí)數(shù)n，使得 =n= n(b- a)． 由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)． 整理得　　　　　　a＋b＝0． 由于向量a、b不共線，所以有　，解得． 所以　　　　　　　　　　　． 同理　　　　　　　　　　?。? 于是　　　　　　　　　　　． 所以　　　　　　　　　　　AR＝RT＝TC． 說(shuō)明：本例通過(guò)向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問(wèn)題的常用方法． 探究二：（1）兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力. （2）在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力. 這些問(wèn)題是為什么？ 師：向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上就是把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，然后通過(guò)向量運(yùn)算解決向量問(wèn)題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象． 例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？ 分析：上面的問(wèn)題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型．只要分析清楚F、G、三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問(wèn)題的數(shù)學(xué)解釋． 解：不妨設(shè)|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到 |F1|=． 通過(guò)上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由逐漸變大時(shí)，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力． 師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問(wèn)題，思考下面的問(wèn)題： ⑴為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？ 例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)？ 分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對(duì)岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對(duì)岸．（用《幾何畫板》演示水流速度對(duì)船的實(shí)際航行的影響） 解：=(km/h)， 所以， (min)． 答：行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是3.1 min． 本例關(guān)鍵在于對(duì)“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這種關(guān)系侯，本例就容易解決了。 變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，（1）寫出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s;(2)計(jì)算s在方向上的投影。 九、板書設(shè)計(jì) 2.5 平面向量應(yīng)用舉例 例⒈　　 用向量法解平面幾何 例2 變式訓(xùn)練 問(wèn)題的“三步曲” 例3. 例4 變式訓(xùn)練 十、教學(xué)反思 本小節(jié)主要是例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過(guò)程，總結(jié)解題規(guī)律。指導(dǎo)學(xué)生搞好解題后的反思，從而提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.