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2019-2020年高中數(shù)學 《基本不等式》教案4 蘇教版必修5 教學目的： 1了解不等式的實際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用； 2掌握實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，學會比較兩個代數(shù)式的大?。? 教學重點：比較兩實數(shù)大?。? 教學難點：差值比較法：作差→變形→判斷差值的符號 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、引入： 人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的研究不等關(guān)系，反映在數(shù)學上就是證明不等式與解不等式實數(shù)的差的正負與實數(shù)的大小的比較有著密切關(guān)系，這種關(guān)系是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)因此，本節(jié)課我們有必要來研究探討實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系 生活中為什么糖水中加的糖越多越甜呢? 轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么? 分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖 后的糖水濃度為，只要證>即可怎么證呢?引人課題 二、講解新課： 1．不等式的定義：用不等號連接兩個解析式所得的式子，叫做不等式． 說明：（1）不等號的種類：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠． （2）解析式是指：代數(shù)式和超越式（包括指數(shù)式、對數(shù)式和三角式等） （3）不等式研究的范圍是實數(shù)集R． 2．判斷兩個實數(shù)大小的充要條件 對于任意兩個實數(shù)a、b，在a＞b，a= b，a＜b三種關(guān)系中有且僅有一種成立．判斷兩個實數(shù)大小的充要條件是： 由此可見，要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號就可以了，這好比站在同一水平面上的兩個人，只要看一下他們的差距，就可以判斷他們的高矮了． 三、講解范例： 例1比較(a＋3)（a－５）與（a＋2）（a－4）的大小 分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要)并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小把比較兩個實數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算符號問題 本題知識點：整式乘法，去括號法則，合并同類項 解：由題意可知： （a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4） ＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８） ＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4） 例2已知x≠0，比較（x2＋1）2與x4＋x2＋1的大小 分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數(shù)式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應(yīng)該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應(yīng)用經(jīng)常被學生所忽略 本題知識點：乘法公式，去括號法則，合并同類項 解：由題意可知： （x2＋1）2－（x4＋x2＋1） ＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1） ＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1 ＝x2 ∵x≠0 ∴x2＞0 ∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0 ∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1 例2引伸：在例2中，如果沒有x≠0這個條件，那么兩式的大小關(guān)系如何? 在例2中，如果沒有x≠0這個條件，那么意味著x可以全取實數(shù)，在解決問題時，應(yīng)分x＝0和x≠0兩種情況進行討論，即： 當x＝0時，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1 當x≠0時，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1 此題意在培養(yǎng)學生分類討論的數(shù)學思想，提醒學生在解決含字母代數(shù)式問題時，不要忘記代數(shù)式中字母的取值范圍，一般情況下，取值范圍是實數(shù)集的可以省略不寫 得出結(jié)論：例1，例2是用作差比較法來比較兩個實數(shù)的大小，其一般步驟是：作差——變形——判斷符號這樣把兩個數(shù)的大小問題轉(zhuǎn)化為判斷它們差的符號問題，至于差本身是多少，在此無關(guān)緊要 例3已知a>b>0，m>0，試比較與的大小 解： ∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴∴> 從而揭示“糖水加糖甜更甜”的數(shù)學內(nèi)涵 例4 比較a4-b4與4a3(a-b)的大?。? 解： a4-b4 - 4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b) = (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) ＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)] = - (a-b)2(3a3+2ab+b2) =- (a-b)2 (當且僅當d＝b時取等號) ∴a4-b44a3(a-b) 說明：“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法 例5 已知x>y，且y≠0，比較與1的大小 解： ∵x>y，∴x-y>0 當y<0時，<0，即<1 當y>0時，>0，即>1 說明：變形的目的是為了判定符號，此題定號時，要根據(jù)字母取值范圍，進行分類討論 四、課堂練習： 1在以下各題的橫線處適當?shù)牟坏忍枺? (1)（＋）2 ６＋2； （2）（－）2 （－1）2； （3） ； (4)當a＞b＞0時，loga logb 答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜ 2選擇題 若a＜0，－1＜b＜0，則有( ) Aa＞ab＞ab2 Bab2＞ab＞a Cab＞a＞ab2 Dab＞ab2＞a 分析：利用作差比較法判斷a，ab，ab2的大小即可 ∵a＜0，－1＜b＜0 ∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0 ∴ab－a＝a（b－1）＞0ab＞a ab－ab2＝ab（1－b）＞0ab＞ab2 a－ab2＝a（1－b2）＜0a＜ab2 故ab＞ab2＞a 答案：D 3比較大小： (1)（x＋５）（x＋７）與（x＋６）2； (2)log與log 解：(1)（x＋５）（x＋７）－（x＋６)2 ＝（x2＋12x＋3５）－（x2＋12x＋3６） ＝－1＜0 ∴（x＋５）（x＋７）＜（x＋６）2 (2)解法一：(作差法) log－log＝ ＝＞0 ∴l(xiāng)og＞log 解法二：(中介法，常以“－1，0，1”作中介) ∵函數(shù)y＝logx和y＝logx在（0，＋∞）上是減函數(shù)且＞ ∴l(xiāng)og＞log＝1，log＜log＝1 ∴l(xiāng)og＞log 4如果x＞0，比較（－1）2與（＋1）2的大小 解：（－1）2－（＋1）2 ＝［（－1）＋（＋1）］［（－1）－（＋1） 或［（x－2＋1）－（x＋2＋1）］＝－4 ∵x＞0 ∴＞0 ∴－4＜0 ∴（－1）2＜（＋1）2 5已知a≠0，比較（a2＋a＋1）（a2－2a＋1）與（a2＋a＋1）（a2－a＋1）的大小 解：（a2＋a＋1）（a2－a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1） ＝［（a2＋1）2－（a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2 ∵a≠0，∴a2＞0 ∴－a2＜0 故（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1） 五、小結(jié) ：本節(jié)學習了實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，并以此關(guān)系為依據(jù)，研究了如何比較兩個實數(shù)的大小，其具體解題步驟可歸納為： 第一步：作差并化簡，其目標應(yīng)是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式 第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時須進行討論 第三步：得出結(jié)論 在某些特殊情況下(如兩數(shù)均為正，且作商后易于化簡)還可考慮運用作商法比較大小它與作差法的區(qū)別在于第二步，作商法是判斷商值與1的大小關(guān)系 六、課后作業(yè)： 1．已知，比較與的大小 解： -=……= ∴≥ 2．比較2sinq與sin2q的大小(0 當時 ∴> ∴總有> 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記：