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2019-2020年高中數(shù)學 用二分法求方程的近似解教案 北師大版必修1 一、 教學目標 1． 知識與技能 （1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，會用二分法求解具體方程的近似解； （2）體會程序化解決問題的思想，為算法的學習作準備。 2． 過程與方法 （1）讓學生在求解方程近似解的實例中感知二分發(fā)思想； （2）讓學生歸納整理本節(jié)所學的知識。 3． 情感、態(tài)度與價值觀 ①體會二分法的程序化解決問題的思想,認識二分法的價值所在，使學生更加熱愛數(shù)學； ②培養(yǎng)學生認真、耐心、嚴謹?shù)臄?shù)學品質。 二、 教學重點、難點 重點：用二分法求解函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟。 難點：為何由︱a － b ︳＜ 便可判斷零點的近似值為a(或b)? 三、 學法與教學用具 1． 想－想。 2． 教學用具：計算器。 四、教學設想 （一）、創(chuàng)設情景，揭示課題 提出問題： （1）一元二次方程可以用公式求根，但是沒有公式可以用來求解放程 ㏑x＋2x－6=0的根；聯(lián)系函數(shù)的零點與相應方程根的關系，能否利用函數(shù)的有關知識來求她的根呢？ （2）通過前面一節(jié)課的學習，函數(shù)f(x)=㏑x＋2x－6在區(qū)間內有零點；進一步的問題是，如何找到這個零點呢？ （二）、研討新知 一個直觀的想法是：如果能夠將零點所在的范圍盡量的縮小，那么在一定的精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值；為了方便，我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。 取區(qū)間（2，3）的中點2.5，用計算器算得f(2.5)≈－0.084,因為f(2.5)*f(3)＜0,所以零點在區(qū)間（2.5，3）內； 再取區(qū)間（2.5，3）的中點2.75，用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零點在（2.5，2.75）內； 由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越來越小，所以零點所在范圍確實越來越小了；重復上述步驟，那么零點所在范圍會越來越小，這樣在有限次重復相同的步驟后，在一定的精確度下，將所得到的零點所在區(qū)間上任意的一點作為零點的近似值，特別地可以將區(qū)間的端點作為零點的近似值。例如，當精確度為0.01時，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我們可以將x=2.54作為函數(shù)f(x)=㏑x＋2x－6零點的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。 這種求零點近似值的方法叫做二分法。 1．師：引導學生仔細體會上邊的這段文字，結合課本上的相關部分，感悟其中的思想方法． 生：認真理解二分法的函數(shù)思想，并根據(jù)課本上二分法的一般步驟，探索其求法。 2．為什么由︱a － b ︳＜便可判斷零點的近似值為a（或b）？ 先由學生思考幾分鐘，然后作如下說明： 設函數(shù)零點為x0，則a＜x0＜b，則： 0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0； 由于︱a － b ︳＜，所以 ︱x0 － a ︳＜b－a＜,︱x0 － b ︳＜∣ a－b∣＜, 即a或b 作為零點x0的近似值都達到了給定的精確度。 ㈢、鞏固深化，發(fā)展思維 1． 學生在老師引導啟發(fā)下完成下面的例題 例2．借助計算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精確到0.01） 問題：原方程的近似解和哪個函數(shù)的零點是等價的？ 師：引導學生在方程右邊的常數(shù)移到左邊，把左邊的式子令為f(x),則原方程的解就是f（x）的零點。 生：借助計算機或計算器畫出函數(shù)的圖象，結合圖象確定零點所在的區(qū)間，然后利用二分法求解． （四）、歸納整理，整體認識 在師生的互動中，讓學生了解或體會下列問題： （1） 本節(jié)我們學過哪些知識內容？ （2） 你認為學習“二分法”有什么意義？ （3） 在本節(jié)課的學習過程中，還有哪些不明白的地方？ （五）、布置作業(yè) A組第四題，第五題。 4.2.1 實際問題的函數(shù)刻畫 在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系， 許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫。用函數(shù)的觀點看實際 問題，是學習函數(shù)的重要內容。 問題1 當人的生活環(huán)境溫度改變時，人體代 謝率也有相應的變化，表4-2給出了實驗的一組數(shù) 據(jù)，這些數(shù)據(jù)說明了什么？ 環(huán)境溫度/（oC） 4 10 20 30 38 代謝率/[4185J/（hm2）] 60 44 40 40.5 54 解 在這個實際問題中出現(xiàn)了兩個變量：一個是環(huán)境溫度；一個是人體的代謝率。不難看出，對于每一個環(huán)境溫度都有唯一的人體代謝率與之對應，這就決定了一個函數(shù)關系。實驗數(shù)據(jù)已經(jīng)給出了幾個特殊環(huán)境溫度時的人體代謝率，為了使函數(shù)關系更直觀，我們將表中的每一對實驗值在直角坐標系中表示出來。在醫(yī)學研究中，為了方便，常用折線把它們連接起來。（如圖4-5） 根據(jù)圖象，可以看出下列性質： （1）代謝率曲線在小于20oC的范圍是下降的， 在大約30oC的范圍內是上升的； （2）環(huán)境溫度在20oC ～30oC時，代謝率較底， 并且較穩(wěn)定，即溫度變化時，代謝率變化不大； （3）環(huán)境溫度太底或太高時，它對代謝率有較大影] 響。 所以，臨床上做“基礎代謝率”測定時，室溫要保持在 20oC ～30oC之間，這樣可以使環(huán)境溫度影響最小。 在這個問題中，通過對實驗數(shù)據(jù)的分析，可以確由 {4，10，20，30，38}到{60，44，40.5，54}的一個函數(shù)， 通過描點，并且用折線將它們連接起來，使人們得到了一 個新函數(shù)，定義域擴大到區(qū)間[4，38]。對于實際的環(huán)境溫度與人體代謝關系來說，就是一個近似函數(shù)關系，它的函 數(shù)圖象，可以幫助我們更好地把握環(huán)境溫度與人體代謝關 系。 問題2 某廠生產(chǎn)一種暢銷的新型工藝品，為此更新 專用設備和制作模具花去xx00元，生產(chǎn)每件工藝品的 直接成本為300元，每件工藝品售價為500元，產(chǎn)量x對 總成本C，單位成本P，銷售收入R及利潤L之間存在什么 樣的函數(shù)關系？表示了什么實際含義？ 解 總成本C與產(chǎn)量x的關系 C=xx00+300x； 單位成本P與產(chǎn)量x的關系 P=300+xx00 /x； 銷售收入R與產(chǎn)量x的關系 R=500x ； 利潤L與產(chǎn)的量x關系 L=R-C=200x-xx00。 以上各式建立的是函數(shù)關系。 （1）從利潤關系式可見，希望有 較大利潤應增加產(chǎn)量。若x<1000,則要 虧損；若x=1000 ，則利潤為零； 若x>1000 ，則可贏利. (2)單位成本P與產(chǎn)量x的關系 P=300+xx00 /x可見，為了降低成本， 應增加產(chǎn)量，以形成規(guī)模效應