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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(2)完整講義（學(xué)生版） 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓． 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ①，焦點是，，且． ②，焦點是，，且． 3．橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程研究）： ⑴范圍：，； ⑵對稱性：以軸、軸為對稱軸，以坐標(biāo)原點為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心； ⑶橢圓的頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，如圖中的； ⑷長軸與短軸：焦點所在的對稱軸上，兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對頂點間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段． ⑸橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，，越趨近于，橢圓越扁； 反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓． 4．直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為： 設(shè)直線：，圓錐曲線：，由 消去（或消去）得：． 若，，相交；相離；相切． 若，得到一個一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對稱軸平行． 因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦． 求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標(biāo)，然后運用兩點間的距離公式來求； 另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標(biāo)分別為，則弦長公式為． 兩根差公式： 如果滿足一元二次方程：， 則（）． 6．直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有： ①從方程的觀點出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來進(jìn)行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ)．要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在適當(dāng)時利用圖形的平面幾何性質(zhì)． ②以向量為工具，利用向量的坐標(biāo)運算解決與中點、弦長、角度相關(guān)的問題． 典例分析 【例1】 設(shè)橢圓過點，且左焦點為 ⑴求橢圓的方程； ⑵當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上． 【例2】 已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切． ⑴求橢圓的方程； ⑵設(shè)，，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點； ⑶在⑵的條件下，過點的直線與橢圓交于，兩點，求的取值范圍． 【例3】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為． ⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 【例4】 在直角坐標(biāo)系中，點到點，的距離之和是，點的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點，不過點的直線與軌跡交于不同的兩點和． ⑴求軌跡的方程； ⑵當(dāng)時，求與的關(guān)系，并證明直線過定點． 【例5】 在直角坐標(biāo)系中，點到點，的距離之和是，點的軌跡是，直線與軌跡交于不同的兩點和． ⑴求軌跡的方程； ⑵是否存在常數(shù)，？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 【例6】 設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率，且過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點． ⑴求橢圓的方程； ⑵是否存在直線，使得．若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由． ⑶若是橢圓經(jīng)過原點的弦，，求證：為定值． 【例7】 已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為的正方形． ⑴求橢圓的方程； ⑵若、分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結(jié)，交橢圓于點． 證明：為定值． ⑶在⑵的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【例8】 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，斜率為且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點，與共線． ⑴求橢圓的離心率； ⑵設(shè)為橢圓上任意一點，且，證明為定值． 【例9】 已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，經(jīng)過點且離心率．過定點的直線與橢圓相交于，兩點． ⑴求橢圓的方程； ⑵在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．