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2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題8.2 點、直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)試題（含解析） 【三年高考】 1. 【xx江蘇高考，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先由面面垂直性質(zhì)定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC． 試題解析：（1）在平面內(nèi)，因為AB⊥AD，，所以． 又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC． 【考點】線面平行判定定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理、面面垂直性質(zhì)定理 【名師點睛】垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直． 2．【xx江蘇高考，16】 如圖，在直三棱柱中，已知，，設的中點為，.求證：（1）； （2）. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】 試題分析（1）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面為平行四邊形,因此點為的中點，從而由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行判定定理得（2）因為直三棱柱中，所以側(cè)面為正方形，因此，又，（可由直三棱柱推導），因此由線面垂直判定定理得,從而，再由線面垂直判定定理得,進而可得 試題解析：（1）由題意知，為的中點， 又為的中點，因此． 又因為平面，平面， 所以平面． （2）因為棱柱是直三棱柱， 所以平面． 因為平面，所以． 又因為，平面，平面，， 所以平面． 又因為平面，所以． 因為，所以矩形是正方形，因此． 因為，平面，，所以平面． 又因為平面，所以． 【考點定位】線面平行判定定理，線面垂直判定定理 3．【xx江蘇，理16】)如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析 4. 【xx江蘇，理16】如圖在三棱錐中，分別為棱的中點，已知， 求證（1）直線平面； （2）平面平面. 【答案】證明見解析． 【解析】 試題分析：（1）本題證明線面平行，根據(jù)其判定定理，需要在平面內(nèi)找到一條與平行的直線，由于題中中點較多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面內(nèi)，即可證得結(jié)論；（2）要證兩平面垂直，一般要證明一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直，由（1）可得，因此考慮能否證明與平面內(nèi)的另一條與相交的直線垂直，由已知三條線段的長度，可用勾股定理證明，因此要找的兩條相交直線就是，由此可得線面垂直. 試題解析：（1）由于分別是的中點，則有，又，，所以． （2）由（1），又，所以，又是中點，所以，，又，所以，所以，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以，又，所以平面平面． 5．【xx課標1，文6】如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【考點】空間位置關(guān)系判斷 【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題．證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面． 6．【xx課標3，文10】在正方體中，E為棱CD的中點，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)三垂線逆定理，平面內(nèi)的線垂直平面的斜線，那也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影，A.若，那么，很顯然不成立；B.若，那么，顯然不成立；C.若，那么，成立，反過來時，也能推出,所以C成立，D.若，則，顯然不成立，故選C. 【考點】線線位置關(guān)系 7．【xx高考浙江理數(shù)改編】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則直線中垂直關(guān)系是　　　． 【答案】 【解析】 試題分析：由題意知，． 考點：空間點、線、面的位置關(guān)系． 【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關(guān)系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關(guān)系． 8．【xx高考新課標2理數(shù)】 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號） 【答案】②③④ 考點： 空間中的線面關(guān)系. 9．【xx高考山東文數(shù)改編】已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面相交”的　　　　　?。ㄔ诔浞植槐匾獥l件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件中選填） 【答案】充分不必要條件 【解析】 試題分析： “直線和直線相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”“直線和直線相交”，所以“直線和直線相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件． 考點：1.充要條件；2.直線與平面的位置關(guān)系. 【名師點睛】充要條件的判定問題，是高考?？碱}目之一，其綜合性較強，易于和任何知識點結(jié)合.本題涉及直線與平面的位置關(guān)系，突出體現(xiàn)了高考試題的基礎性，能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、空間想象能力等. 10．【xx高考新課標Ⅲ文數(shù)】如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點． （I）證明平面； （II）求四面體的體積. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）取的中點，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）由條件可知四面體的高，即點到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結(jié)果． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，. ......3分 又，故，四邊形為平行四邊形，于是. 因為平面，平面，所以平面. ........6分 （Ⅱ）因為平面，為的中點， 所以到平面的距離為. ....9分 取的中點，連結(jié).由得，. 由得到的距離為，故， 所以四面體的體積. .....12分 考點：1、直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、三棱錐的體積． 【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求三棱錐的體積關(guān)鍵是確定其高，而高的確定關(guān)鍵又推出頂點在底面上的射影位置，當然有時也采取割補法、體積轉(zhuǎn)換法求解． 11.【xx高考北京文數(shù)】（本小題14分） 如圖，在四棱錐中，平面， （I）求證：； （II）求證：； （III）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得平面?說明理由. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（III）存在.理由見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用線面垂直判定定理證明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理證明；（III）取中點，連結(jié)，則，根據(jù)線面平行定理則平面. 試題解析：（I）因為平面， 所以． 又因為， 所以平面． （II）因為，， 所以． 因為平面， 所以． 所以平面． 所以平面平面． （III）棱上存在點，使得平面．證明如下： 取中點，連結(jié)，，． 又因為為的中點， 所以． 又因為平面， 所以平面． 考點：空間垂直判定與性質(zhì)；空間想象能力，推理論證能力 【名師點睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應用：當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等. 12．【xx高考山東文數(shù)】（本小題滿分12分） 在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB. （I）已知AB=BC，AE=EC.求證：AC⊥FB； （II）已知G,H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC. 【答案】（Ⅰ））證明：見解析；（Ⅱ）見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ））根據(jù)，知與確定一個平面，連接，得到，，從而平面，證得. （Ⅱ）設的中點為，連，在，中，由三角形中位線定理可得線線平行，證得平面平面，進一步得到平面. 試題解析：（Ⅰ））證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，。 （Ⅱ）設的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面. 考點：1.平行關(guān)系；2.垂直關(guān)系. 【名師點睛】本題主要考查直線與直線垂直、直線與平面平行.此類題目是立體幾何中的基本問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，給出規(guī)范的證明.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想等. 13.【xx高考北京，文18】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點． （I）求證：平面； （II）求證：平面平面； （III）求三棱錐的體積． 【解析】（Ⅰ）因為分別為，的中點，所以.又因為平面，所以平面. （Ⅱ）因為，為的中點，所以.又因為平面平面，且平面，所以平面.所以平面平面. （Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等邊三角形的面積.又因為平面，所以三棱錐的體積等于.又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為. 【xx年高考命題預測】 縱觀xx各地高考試題，考查的重點及難點穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點.在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，是知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重.高考對這部分知識的考查側(cè)重以下幾個方面： 1．從命題形式來看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設計成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作——證——求”，強調(diào)作圖、證明和計算相結(jié)合.2．從內(nèi)容上來看，主要是：考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題與解答題的第一步； 3．從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：①會畫圖——根據(jù)題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明；②會識圖——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會析圖——對圖形進行必要的分解、組合；④會用圖——對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a術(shù)；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力.從高考試題來看，線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角等是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時還考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力．直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考查重點，題型既有選擇題、填空題又有解答題，在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重.預測xx年高考，將以多面體為載體，第一問以線面平行與垂直，面面平行與垂直為主要考查點，第二問可能給出一個角，求點的位置或設置一個探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力．復習建議;證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路. 【xx年高考考點定位】 高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點.）考題既有選擇題，填空題，又有解答題；在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線面和面面關(guān)系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主，考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力. 【考點1】空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 【備考知識梳理】 1．平面概述：（1）平面的兩個特征：①無限延展 ②平的（沒有厚度）；（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面；（3）平面的表示：用一個小寫的希臘字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC. 2．三公理三推論: 公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi)： A,B,A,B 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線. 公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面.推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面 3．空間直線:（1）空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線——有且僅有一個公共點；平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.相交直線和平行直線也稱為共面直線.異面直線的畫法常用的有下列三種： （2）平行直線： 在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的.即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. （3）異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線.推理模式：與是異面直線. 異面直線所成的角：①定義：設是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點作直線，，把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．②范圍：. 4．直線和平面的位置關(guān)系 （1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）； （2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）； （3）直線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分類. 它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，，. 5．兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點） 【規(guī)律方法技巧】 1．求異面直線所成角的方法 (1)平移法：即選點平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問題，這是求異面直線所成角的常用方法． (2)補形法：即采用補形法作出平面角． 2．證明共面問題的兩種途徑 (1)首先由條件中的部分線(或點)確定一個平面，再證其他線(或點)在此平面內(nèi)； (2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個平面重合． 3．證明共線問題的兩種途徑：(1)先由兩點確定一條直線，再證其他點都在這條直線上； (2)直接證明這些點都在同一條特定直線上． 4．證明共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點． 【考點針對訓練】 1.已知l 是直線，α、β是兩個不同的平面，下列命題中的真命題是 　　 ．(填所有真命題的序號) ①若l∥α，l∥β，則α∥β ② 若α⊥β，l∥α，則l⊥β ③若l∥α，α∥β，則l∥β ④ 若l⊥α，l//β，則 α⊥β 【答案】④ 2．已知m ，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題錯誤的是　　　　?。? ①若，，則；②若，則；③若，，，則；④若，，則 【答案】①②④ 【解析】若，，則或與相交，所以①錯誤；若，，則或，所以②錯誤；若，，，則，所以③正確；若，，則或，所以④錯誤．故填①②④. 【考點2】直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【備考知識梳理】 1. 線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.推理模式：． 2.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.推理模式：． 3.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行.定理的模式： 推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行. 推論模式： 4.兩個平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行. 易錯點：1．直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件． 2．面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件． 3．如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質(zhì)上也可以相交． 【規(guī)律方法技巧】 1. 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 2.線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量互相平行；證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行. 證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線；利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行； 3.面面平行的證明方法：①反證法:假設兩個平面不平行，則它們必相交，在導出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；④平行于同一個平面的兩個平面平行.；⑤向量法：證明兩個平面的法向量平行. 4.兩個平面平行的性質(zhì)有五條： （1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”.用符號表示是：，，則. （2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”.用符號表示是：，，，則. （3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面.這個定理可用于證線面垂直.用符號表示是：，，則. （4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等 （5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行 5.證明空間線面平行需注意以下幾點：①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.③明確何時應用判定定理，何時應用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論.關(guān)鍵在于對題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進行平行之間的轉(zhuǎn)化. 6．“升降維”思想 直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的.運用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決.運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學會學習”的重要方法.平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程. 7．反證法：反證法是立體幾何中常用的間接證明方法.其步驟是：①否定結(jié)論；②進行推理；③導出矛盾；④肯定結(jié)論．用反證法證題要注意：①宜用此法否；②命題結(jié)論的反面情況有幾種. 【考點針對訓練】 1.如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，， 是線段的中點． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求三棱錐的體積． 【解析】（Ⅰ）連接，如圖，∵、分別是、的中點，是矩形，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面； （Ⅱ）連接，∵正方形的邊長為2，，∴，，，則，∴，又∵在長方體中，，，且，∴平面，又平面，∴，又 ，∴平面，即為三棱錐的高，∵，，∴. 2．如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面,點為棱的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】(1) 連接BD與AC相交于點O，連結(jié)OE． 因為四邊形ABCD為矩形，所以O為BD中點． 因為E為棱PD中點，所以PB∥OE． 因為PB平面EAC，OE平面EAC， 所以直線PB∥平面EAC． (2) 因為PA⊥平面PDC，CD平面PDC，所以 PA⊥CD． 因為四邊形ABCD為矩形，所以AD⊥CD． 因為 PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以 CD⊥平面PAD． 因為CD平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD． O P A B C D E 【考點3】直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 【備考知識梳理】 1．線線垂直 判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條. 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直. 三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直.推理模式： . 注意：⑴三垂線指都垂直內(nèi)的直線其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理⑵要考慮的位置，并注意兩定理交替使用. 2．線面垂直：定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線和平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面,直線與平面的交點叫做垂足.直線與平面垂直記作：. 直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行. 3．面面垂直 兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面. 兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直） 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面. 【規(guī)律方法技巧】 1.證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性. 2.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互平行. 線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直. 3.面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個平面的法向量垂直. 解題時要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關(guān)鍵在于對題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進行垂直之間的轉(zhuǎn)化. 4.證面面垂直，關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應的性質(zhì)定理.已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式（如勾股定理）證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結(jié)論是線面垂直． 5.證明線面垂直，就考慮證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線；而證明異面的線線垂直，很多題都要通過線面垂直來證明；對相交直線垂直的證明，一般考慮用平面幾何里的方法.常見的有以下幾種，若是等腰三角形，則底邊上的中線與底邊垂直；若是錐形、菱形（正方形），則對角線互相垂直；若是矩形，則鄰邊互相垂直；有時還用到以下結(jié)論：如下圖，在矩形中，若，則； 若告訴了線段的長度，或者是告訴了邊與邊之間的關(guān)系，則用勾股定理. 6．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化．注意以下幾點：①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.③明確何時應用判定定理，何時應用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論.④三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應優(yōu)先考慮.應用時常需先認清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置，再根據(jù)定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計算證明線線垂直也是常用的方法之一. 7．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. 8.易錯點：（1）證明線面垂直時，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件．（2）面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視．（3）面面垂直的性質(zhì)定理在使用時易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤． 【考點針對訓練】 1.已知三棱錐的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足，，，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為__. 【答案】2 【解析】由，，可知PA，PB，PC兩兩垂直，又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，故則由基本不等式可得，即，則三棱錐P-ABC的側(cè)面積則三棱錐的側(cè)面積的最大值為2． 2.如圖4，在邊長為的菱形中，，點，分別是邊，的中點，．沿將△翻折到△，連接，得到如圖5的五棱錐，且． （1）求證：平面； （2）求四棱錐的體積． 【解析】（1）∵點，分別是邊，的中點，∴∥. ∵菱形的對角線互相垂直，∴. ∴. ∴，.∵平面，平面，，∴平面. ∴平面. （2）設，連接，∵，∴△為等邊三角形.∴，，，.在R t△中，，在△中，，∴. ∵，，平面，平面，∴平面.梯形的面積為，∴四棱錐的體積. 【兩年模擬詳解析】 1. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）xx屆高三年級第三次調(diào)研考試】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點在棱上（異于點，），平面與棱交于點. （1）求證：； （2）若平面平面，求證：. 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】 解:(1) 因為是矩形，所以． 又因為平面，平面， 所以平面． 又因為平面，平面平面， 所以． （2）因為是矩形，所以． 又因為平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以． 又由（1）知，所以． 2. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二）】如圖，在四面體中，平面平面，，，分別為，，的中點，，. （1）求證：平面； （2）若為上任一點，證明平面. 【答案】（1）見解析（2）見解析 （2）連，，因為，分別為，的中點， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理可證平面，且，平面，平面， 所以平面平面， 又為上任一點，所以平面，所以平面. 3. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級第一次模擬】(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱中，，,分別是,的中點． （1）求證：∥平面； （2）求證：平面平面． 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析 【解析】 證明：（1）因為,分別是,的中點，所以， ...............2分 又因為在三棱柱中，，所以. ...............4分 又平面，平面，所以∥平面. ...............6分 （2）在直三棱柱中，底面， 又底面，所以. ...............8分 又，，所以， ...............10分 又平面，且，所以平面. ...............12分 又平面，所以平面平面． ...............14分 （注：第（2）小題也可以用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，類似給分） 4. 【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級第一次模擬】在長方體中，． （1）求證：平面； （2）求證：平面． 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析 （2）連結(jié)B1E．設AB＝a，則在△BB1E中， BE＝B1E＝，BB1＝2a．所以 ，所以B1E^BE． ……8分 由ABCD－A1B1C1D1為長方體，則A1B1^平面BB1C1C，平面BB1C1C， 所以A1B1^BE． ……10分 因B1EA1B1= B1，B1E平面A1B1E，A1B1平面A1B1E，則BE^平面A1B1E．……12分 又因為A1E平面A1B1E, 所以A1E^BE． 同理A1E^DE．又因為BE 平面BDE，DE 平面BDE， 所以A1E^平面BDE． ……14分 5. 【xx年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分14分）在如圖所示的幾何體中，, 分別為的中點. （I）求證： （II）求證：平面. 【解析】（Ⅰ））證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，………………………6分 （Ⅱ）設的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面.………………………14分 6. 【xx年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱中，已知分別為線段的中點，，且. 求證：（1）平面平面； （2）∥平面. 【解析】 證明：（1）因為，且為線段的中點，所以. 又，，平面，平面， 所以平面，……………6分 因為平面，所以平面平面.……………8分 （2）取中點，連結(jié)， 因為為線段的中點，為中點，所以∥，且. 在三棱柱中，∥，且. 又為線段的中點，故∥，且. 所以∥，且，于是四邊形是平行四邊形， 從而∥.……………12分 又平面，平面， 故∥平面……………14分 7. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（一）】如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面是菱形，與交于點， 是棱上一點，且∥平面． （1）求證：是中點； （2）若，求證：． （1）連接，因為∥平面， 平面，平面平面，所以∥. ……4分 因為側(cè)面是菱形，，所以是中點， ……5分 所以，E是AB中點. ……7分 （2）因為側(cè)面是菱形，所以， ……9分 又，，面，所以面，…12分 因為平面，所以． ……14分 8. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷01（江蘇卷）】（本小題滿分14分） 在正三棱柱中，,點D是BC的中點，點在上，且． （1）求證： ∥平面； （2）求證：平面⊥平面． 【答案】（1）詳見解析 （2）詳見解析 【解析】 （1） 記，連接. ∵四邊形為矩形，∴是的中點， 又∵是的中點，∴.3分 又∵平面，平面， ∴∥平面.6分 （2）∵是正三角形，是的中點， ∴. ∵平面⊥平面， 平面平面，平面， ∴平面.9分 【或利用⊥平面，證明平面.】 ∵平面，∴. ∵，，是中點， ∴， ∴，10分 ∴，∴， ∴，又，平面， ∴平面.12分 又∵平面，∴平面平面．14分 9. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷02（江蘇卷）】（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面分別是的中點，且. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：平面平面. 【解析】 證明：（1）取的中點，連則，---------------（2分） 又，所以，所以四邊形是平行四邊形，----------------（3分） 則平面.------------------（6分） （2）因平面，故---（8分） 又因為，故平面；------------（10分） 因為，所以平面，----------------------------------（12分） 又平面，所以平面平面.------------------------（14分） 10. 【南京市xx屆高三年級第三次模擬考試】6．已知α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同直線，l⊥α，m?β．給出下列命題： ①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l； ③m∥α?l⊥β； ④l⊥β?m∥α． 其中正確的命題是 ． (填寫所有正確命題的序號)． 【答案】①④ 【解析】 試題分析：①α∥β，l⊥α? l⊥β? l⊥m，命題正確；②α⊥β，l⊥α? l、m可平行，可相交，可異面，命題錯誤； ③m∥α，l⊥α? l⊥m? l與β可平行，l可在β內(nèi)，l可與β相交，命題錯誤；④ l⊥β、l⊥α?β∥α?m∥α．命題正確. 11．【江蘇省揚州中學xx學年第二學期質(zhì)量檢測】如圖，已知直三棱柱中， ，分別是棱，中點． （1）求證：⊥平面； （2）求證：∥平面； 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 （2）證明：取的中點，連結(jié)，，因為，分別是棱 ，中點，所以∥，. 又因為∥，， 所以∥，＝.所以四邊形是平行四邊形． 所以∥. 因為平面，平面， 所以∥平面. 12．【南京市、鹽城市xx屆高三年級第二次模擬考試】如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點． （1）求證：PB∥平面MNC； （2）若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC. （第16題圖） 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】（1）因為M，N分別為AB，PA的中點， 所以MN∥PB． 因為MN平面MNC，PB平面MNC， 所以PB∥平面MNC. （2）因為PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. 因為AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 因為平面PAB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB， 所以CM⊥平面PAB． 因為PA平面PAB，所以CM⊥PA． 因為PA⊥MN，MN平面MNC，CM平面MNC，MN∩CM＝M， 所以PA⊥平面MNC. 13．【江蘇省蘇中三市xx屆高三第二次調(diào)研測試】如圖，在正方體中，分別為棱的中點． 求證：（1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】（1）在正方體中，因為分別為棱的中點， 所以． 又，故， 所以四邊形為平行四邊形． 從而， 又平面平面， 所以平面； （2） 連結(jié)，在正方形中，．又分別為棱的中點，故．所以．　 在正方體中，平面， 又平面， 所以平面，． 而平面， 所以平面．　 又平面， 所以平面平面．　 14．【江蘇省揚州中學xx屆高三4月質(zhì)量監(jiān)測】如圖，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，側(cè)面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60，E、F分別是A1C1、AB的中點． 求證：（1）EF∥平面BB1C1C； （2）平面CEF⊥平面ABC． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】 A B C O M F E 證明：（1）取BC中點M，連接FM，C1M， 在△ABC中，因為F，M分別為BA、BC的中點， 所以AC, 因為E為A1C1的中點，AC∥A1C1， 所以FM∥EC1，且FM=EC1從而四邊形EFMC1為平行四邊形， 所以EF∥C1M，又因為C1M平面BB1C1C，EF平面BB1C1C， 因此EF∥平面BB1C1C； （2）在平面AA1C1C內(nèi)，作A1O⊥AC，O為垂足， 因為∠A1AC=60，所以AO= 從而O為AC的中點． 所以OC∥A1E，且OC=A1E，因而EC∥A1O， 因為側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，交線為AC， A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．因而A1O⊥AB 所以EC⊥AB，EC⊥AC，而ABAC=A，所以EC⊥底面ABC， 又因為EC平面EFC， 所以平面CEF⊥平面ABC． 15．【江蘇省南京市xx屆高三年級第三次學情調(diào)研適應性測試數(shù)學】 如圖，在四棱錐E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點. （1）求證：DE//平面ACF； （2）若AB＝CE，在線段EO上是否存在點G，使得CG⊥平面BDE？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）詳見解析（2）EO的中點 【解析】（1）證明：連接OF由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD的中點 又F為BE的中點，所以OF//DE 又OF平面ACF，DE平面ACF 所以DE//平面ACF (2) 解：在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE，證明如下： 取EO的中點G，連接CG，在四棱錐E－ABCD中 AB＝CE，CO＝AB＝CE，所以CG⊥EO 又由EC⊥底面ABCD，BD底面ABCD， 所以EC⊥BD 由四邊形ABCD是正方形可知，AC⊥BD 又AC∩EC＝C 所以BD⊥平面ACE ，而BD平面BDE 所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE＝EO 因為CG⊥EO，CG平面ACE，所以CG⊥平面BDE． 16．【南京市xx屆高三年級第三次模擬考試】 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱BC上一點． （1）若AB＝AC，D為棱BC的中點，求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （2）若A1B∥平面ADC1，求的值． 【答案】（1）詳見解析（2）1 【解析】（1）因為AB＝AC，點D為BC中點，所以AD⊥BC． 因為ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC． 因為AD平面ABC，所以BB1⊥AD． 因為BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1． 因為AD平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1． (2)連結(jié)A1C，交AC1于O，連結(jié)OD，所以O為AC1中點． 因為A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD， 所以A1B∥OD．因為O為AC1中點，所以D為BC中點， 所以＝1． 17．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市xx屆高三教學情況調(diào)研（二）數(shù)學試題】 在直三棱柱中，，， 是的中點． （1）求證：平面； （2）若點在線段上，且，求證：平面． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】（1）連結(jié)，設交于點，連結(jié)． ∵四邊形是矩形，∴是的中點． 在△中， ，分別是，的中點， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． （2）∵，是的中點，∴﹒ 又∵在直三棱柱中，底面⊥側(cè)面，交線為， 平面，∴平面﹒ ∵平面，∴． ∵， ，， ∴， ∴△∽△， 從而∠=∠，所以∠+∠=∠+∠=， ∴． 又∵，平面，平面 ∴平面． 18．【江蘇省蘇北三市xx屆高三最后一次模擬考試】如圖，在直三棱柱中，已知，分別為的中點，求證： （1）平面平面； （2）平面. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 （2）取中點，連結(jié)，，，. 由于，分別為，的中點， 所以且 故且. 則四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面， 所以平面. 由于分別為，的中點， 所以. 又，分別為，的中點，所以. 則. 又平面，平面，所以平面. 由于,所以平面平面. 由于平面，所以平面. 【一年原創(chuàng)真預測】 1. 下列四個命題： ①如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 ②如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 ③如果平面平面，平面平面，那么平面 ④如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 其中正確的有　　　　　?。? 【答案】①③④ 【解析】對于②，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余選項均是正確的. 【入選理由】本題考察空間直線和平面的位置關(guān)系等基礎知識，意在考察學生空間想象能力. 線面的平行與垂直，是立體幾何的主體內(nèi)容，也是高考考查的重點與難點，一般選擇題多考查線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，一般難度不大，故選此題. 2. 如圖，在三棱錐中，，，，，、、分別是、、的中點． （I）證明：平面平面； （II）若，求三棱錐的體積． 【解析】（I）證明：∵E、F分別是AC、BC的中點,∴,∵,∴,同理，,∵,∴; （II）解：取的中點，連結(jié)、，∵，,∴,∵,∴,在等腰直角三角形中，，是斜邊的中點,∴,同理，,∵,∴△是等邊三角形,∴.∴. 【入選理由】本題考查空間圖形平行與垂直的證明、三棱錐的體積等基礎知識，意在考查學生空間想象能力、邏輯推理能力，及幾何體體積的計算能力.本題常規(guī)題型,符合高考要求，故選此題. 3.如圖，已知矩形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，且分別為的中點． （I）求證：平面； （II）求證：平面⊥平面． 【解析】（I）取的中點，連接．在中，．又．在梯形中，又 平面平面．又平面，平面． （II）平面平面，平面平面，在矩形中平面，又．在和中，∽又平面，平面平面⊥平面． 【入選理由】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理等基本知識理解和應用，意在考查學生的空間想象力和推理論證能力, 高考對立體幾何的考查，主要以柱體、錐體或其組合體為載體，考查線面位置關(guān)系的判定與證明，特別是解答題的第一問，主要考查線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，一般難度不大，故選此題.