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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1 橢圓及其標準方程學(xué)案（1） 新人教版選修2-1 一． 學(xué)習(xí)目標： 1.理解并掌握橢圓的定義，了解橢圓標準方程的推導(dǎo)方法； 2.能根據(jù)橢圓的標準方程熟練地寫出橢圓的焦點坐標，會用待定系數(shù)法確定橢圓的方程； 3.初步掌握用相關(guān)點法和直接法求軌跡方程的一般方法. 二、教學(xué)重點與難點 重點：掌握橢圓的標準方程，理解坐標法的基本思想 難點：橢圓標準方程的推導(dǎo)與化簡，坐標法的應(yīng)用 三、教學(xué)過程分析 1、橢圓定義的理解 橢圓定義中，平面內(nèi)動點與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)，當這個常數(shù)大于|F1F2|時，動點的軌跡是橢圓；當這個常數(shù)等于|F1F2|時，動點的軌跡是線段F1F2；當這個常數(shù)小于|F1F2|時，動點不存在. 2、橢圓的標準方程 對于兩種標準方程對應(yīng)的圖形是全等圖形，要注意焦點位置確定的討論. 3、典型例題 例1、（1）求橢圓的焦距與焦點坐標；（2）求焦點為，且過點的橢圓的標準方程. [分析]先把方程化為標準型方程再求解,(1);(2). 例2、已知橢圓，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，求證：的面積. [分析]方法：應(yīng)用橢圓的定義與余弦定理、面積公式. 例3、已知動圓P過定點A(-3,0)，并且在定圓B: (x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其相切，求動圓圓心P的軌跡方程. [分析]應(yīng)用定義法求得: 例4、在中，BC=24，AC、AB邊上的中線長之和等于39，求的重心的軌跡方程。 M B O E y D A C x ［剖析］：有一定長線段BC，兩邊上的中線長也均與定點B、C和的重心有關(guān)，因此需考慮以BC的中點為坐標原點建立直角坐標系。但需注意點A不能在BC的所在的直線上。 [分析]如圖所示，以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系。 設(shè)M為的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，由重心的性質(zhì)知，，于是==.根據(jù)橢圓的定義知，點M的軌跡是以B、C為焦點的橢圓. 26，，又，，，故所求的橢圓方程為. [注] 在求點的軌跡時，要特點注意所求點軌跡的幾何意義，在本題中，所求的橢圓方程為，應(yīng)考慮若時，A、B、C三點在同一條直線上，不可能構(gòu)成三角形，所以應(yīng)將去掉。另外，平面內(nèi)一動點與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)2a，當2a＞| F1F2|時，動點的軌跡是橢圓；當2a=| F1F2|時動點的軌跡是線段F1F2；當2a<| F1F2|時，動點的軌跡不存在。 一課一練（1） 一、選擇題：（6分4） 1.橢圓的焦距為 ( ) A.1 B. C. D. 2.若橢圓的焦距為4，則m= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.焦點為(0,-1)，(0,1)的橢圓方程可以是 ( ) A. B. C. D. 4.橢圓上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空題（8分5） 5.如果方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是__________. 6.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，若，則. 7.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點的連線互相垂直，則的面積__. 8.橢圓的兩個焦點為，點P在橢圓上，若則 9.已知橢圓上一點與兩個焦點的距離之和為10，焦距是函數(shù)的零點，則橢圓的標準方程為__________________________________. 三、解答題（共3題，每題12分，共36分） 10.線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上運動，|AB|=5，點M是線段AB上一點，且|AM|=2，點M隨線段AB的運動而變化，求點M的軌跡方程. 11.已知圓B：的圓心為點B，又有定點為圓B上任意一點，求AC的垂直平分線與線段CB的交點P的軌跡方程. 12.已知橢圓C與橢圓的焦點相同，且橢圓C過點. (1)求橢圓C的標準方程；(2)若，且，求的面積. 參考簡答: 1. D. 2. D. 3. A. 4. D. 5. 或. 6. 8 7. 24 8. 2, 9. 10. 11. 12.