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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布2完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 1． 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母表示． 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機(jī)變量． ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量的分布列． 2．幾類典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布． 二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點(diǎn)分布． 兩點(diǎn)分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量，它取值為時的概率為 ，為和中較小的一個． 我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列． ⑶二項(xiàng)分布 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項(xiàng)分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式 各對應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布， 記作． 二項(xiàng)分布的均值與方差： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）． 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機(jī)變量的平均取值水平． 2．離散型隨機(jī)變量的方差 一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個離散型隨機(jī)變量的方差． 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對于期望的平均波動的大?。x散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨機(jī)變量波動大小的量． 3．為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為． ⑵二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨(dú)立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，即， 這時，我們稱兩個事件，相互獨(dú)立，并把這兩個事件叫做相互獨(dú)立事件． 如果事件，，…，相互獨(dú)立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 【例1】 一盒子內(nèi)裝有個乒乓球，其中個舊的，個新的，從中任意取個，則取到新球的個數(shù)的期望值是 ． 【例2】 某人參加一次英語口語考試，已知在備選的道試題中，能答對其中的題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出題進(jìn)行測試，每題分?jǐn)?shù)為20分，求他得分的期望值． 【例3】 以隨機(jī)方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個委員會，求該委員會中女性委員人數(shù)的概率分布、期望值與方差． 【例4】 在個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次任取一個，并且取出不再放回，若以和分別表示取出次品和正品的個數(shù)．求的期望值及方差． 【例5】 某人可從一個內(nèi)有2張?jiān)?張?jiān)拇永锶稳?張，求他獲得錢數(shù)的期望值． 【例6】 某人有一張?jiān)c張?jiān)?，他從中隨機(jī)地取出張給孫兒、孫女，每人一張，求孫兒獲得錢數(shù)的期望值． 【例7】 從名男生和名女生中任選人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選人中女生的人數(shù)． ⑴ 求的分布列； ⑵ 求的數(shù)學(xué)期望與方差； ⑶ 求“所選人中女生人數(shù)”的概率． 【例8】 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格． ⑴ 求甲答對試題數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差； ⑵ 求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率． 【例9】 一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是． ⑴若袋中共有個球，從袋中任意摸出個球，求得到白球的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望； ⑵求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少．