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2019-2020年高中數(shù)學 2.3.1 雙曲線及其標準方程二教案 北師大選修1-1 教學過程： 一、復習引入： 1 橢圓定義： 平面內與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關 2.橢圓標準方程： （1） （2） 其中 二、講解新課： 1．雙曲線的定義：平面內到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距 概念中幾個容易忽略的地方：“平面內”、“距離的差的絕對值”、“常數(shù)小于” 在同樣的差下，兩定點間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線） 兩定點間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線） 雙曲線的形狀與兩定點間距離、定差有關 2．雙曲線的標準方程： 根據(jù)雙曲線的定義推導雙曲線的標準方程：推導標準方程的過程就是求曲線方程的過程，可根據(jù)求動點軌跡方程的步驟，求出雙曲線的標準方程 過程如下：（1）建系設點；（2）列式；（3）變換；（4）化簡；（5）證明 取過焦點的直線為軸，線段的垂直平分線為軸 設P（）為雙曲線上的任意一點，雙曲線的焦距是2（） 則 ，又設M與距離之差的絕對值等于2（常數(shù)）， ， ， 化簡，得： ， 由定義 令代入，得：， 兩邊同除得：， 此即為雙曲線的標準方程 它所表示的雙曲線的焦點在軸上，焦點是， 其中 若坐標系的選取不同，可得到雙曲線的不同的方程，如焦點在軸上，則焦點是，將互換，得到 ，此也是雙曲線的標準方程 3．雙曲線的標準方程的特點： （1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種： 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)； 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,) (2)有關系式成立，且 其中a與b的大小關系:可以為 4.焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應的字母所在的軸就是焦點所在的軸 而雙曲線是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上 三、講解范例： 例1 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三量的值 ① ② ③ ④ （） 分析：雙曲線標準方程的格式：平方差，項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上，項的分母是；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上，項的分母是 解：①是雙曲線， ； ② 是雙曲線， ； ③是雙曲線， ； ④是雙曲線， 例2 已知雙曲線兩個焦點的坐標為，雙曲線上一點P到的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線標準方程 解：因為雙曲線的焦點在軸上，所以設它的標準方程為 (,) ∵ ∴ ∴ 所求雙曲線標準方程為 四、課堂練習： 1．求=4，=3，焦點在軸上的雙曲線的標準方程 2．求=2，經過點（2，-5），焦點在軸上的雙曲線的標準方程 3．證明：橢圓與雙曲線的焦點相同 4．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 5．設雙曲線上的點P到點的距離為15，則P點到的距離是（ ） A．7 B.23 C.5或23 D.7或23 練習答案：1. ; 2. ; 3. , ; 4. D.表示焦點在軸上的雙曲線 ,所以選D. 5. D. 7或23 五、小結 ：雙曲線的兩類標準方程是焦點在軸上，焦點在軸上 有關系式成立，且 其中a與b的大小關系:可以為 六、課后作業(yè)： 七、板書設計（略） 八、課后記：