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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章《二項(xiàng)式定理》教案4 新人教A版選修2-3 例9．已知的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列， （1）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng) 解：由題意：，即，∴舍去） ∴ ①若是常數(shù)項(xiàng)，則，即， ∵，這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)； ②若是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)， ∴，∴ ， 即 展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是：，， 例10．求的近似值，使誤差小于． 解：， 展開式中第三項(xiàng)為，小于，以后各項(xiàng)的絕對(duì)值更小，可忽略不計(jì)， ∴， 一般地當(dāng)較小時(shí) 四、課堂練習(xí)： 1.求的展開式的第3項(xiàng). 2.求的展開式的第3項(xiàng). 3.寫出的展開式的第r+1項(xiàng). 4.求的展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并求第4項(xiàng)的系數(shù). 5.用二項(xiàng)式定理展開： （1）；（2）. 6.化簡：（1）；（2） 7．展開式中的第項(xiàng)為，求． 8．求展開式的中間項(xiàng) 答案：1. 2. 3. 4.展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，第4項(xiàng)的系數(shù) 5. （1）； （2）. 6. （1）； （2） 7. 展開式中的第項(xiàng)為 8. 展開式的中間項(xiàng)為 五、小結(jié) ：二項(xiàng)式定理的探索思路:觀察——?dú)w納——猜想——證明；二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的特點(diǎn) 八、教學(xué)反思： (a+b) ｎ = 這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，它是展開式的第 項(xiàng)，展開式共有 個(gè)項(xiàng). 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，并能用它們解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題。 培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。 二項(xiàng)式定理是指 這樣一個(gè)展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)′=nxn－1，同時(shí)=e≈2.718281…也正是由二項(xiàng)式定理的展開規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=與積分公式=dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－x0)n+(θ∈(0，1))以及由此建立的冪級(jí)數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中. 怎樣使二項(xiàng)式定理的教學(xué)生動(dòng)有趣 正因?yàn)槎?xiàng)式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(gè)(a+b)4用組合知識(shí)來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因?yàn)樽C明寫得很長，上課時(shí)的板書幾乎占了整個(gè)黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動(dòng).那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用？ 怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動(dòng)？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時(shí)都會(huì)無能為力，因?yàn)檫@些方法都無法改變算式的冗長，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實(shí). 而MM教育方式即數(shù)學(xué)方法論的教育方式卻能根據(jù)習(xí)題理論注意到充分利用數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技術(shù)把所要證明或計(jì)算的形式變換得十分簡潔，心理學(xué)家皮亞杰一再強(qiáng)調(diào)“認(rèn)識(shí)起因于主各體之間的相互作用”［1］只有客體的形式與學(xué)生主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式取得某種一致的時(shí)候，才能完成認(rèn)識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，也就是學(xué)生獲得真正的理解. MM教育方式遵循“興趣與能力的同步發(fā)展規(guī)律”和“教，學(xué)，研互相促進(jìn)的規(guī)律”［2］在教學(xué)中追求簡易，重視直觀，并巧妙地在應(yīng)用抽象使問題變得十分有趣，學(xué)生學(xué)得生動(dòng)主動(dòng)，充分發(fā)揮其課堂上的主體作用.