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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征》教案2 新人教A版必修3 導(dǎo)入新課 思路1 平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,有時(shí)平均數(shù)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷.某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示,該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176 cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長(zhǎng)發(fā)育好,身高較高.但是,假如這個(gè)平均數(shù)是從五十萬(wàn)名中學(xué)生抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來(lái)的話,那么,這個(gè)平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì).因此,只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).所以我們學(xué)習(xí)從另外的角度來(lái)考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量——標(biāo)準(zhǔn)差.(教師板書課題) 思路2 在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次,命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運(yùn)動(dòng)員:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4； 乙運(yùn)動(dòng)員:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 觀察上述樣本數(shù)據(jù),你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練,選哪位選手去參加正式比賽？ 我們知道,x甲=7，x乙=7.兩個(gè)人射擊的平均成績(jī)是一樣的.那么,是否兩個(gè)人就沒有水平差距呢？ 從上圖直觀上看,還是有差異的.很明顯,甲的成績(jī)比較分散,乙的成績(jī)相對(duì)集中,因此我們從另外的角度來(lái)考察這兩組數(shù)據(jù)——標(biāo)準(zhǔn)差. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 (1)如何通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)）？ (2)有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個(gè)標(biāo)本（如下表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2）,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125. 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好？ (3)某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種,對(duì)甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對(duì)比實(shí)驗(yàn),年畝產(chǎn)量分別如下:(千克) 甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773) 乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787) 請(qǐng)你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí),說(shuō)明選擇哪種品種推廣更好? (4)全面建設(shè)小康社會(huì)是我們黨和政府的工作重心,某市按當(dāng)?shù)匚飪r(jià)水平計(jì)算,人均年收入達(dá)到1.5萬(wàn)元的家庭即達(dá)到小康生活水平.民政局對(duì)該市100戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),它們的人均收入達(dá)到了1.6萬(wàn)元,民政局即宣布該市民生活水平已達(dá)到小康水平,你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實(shí)際? (5)如何考查樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小呢?把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來(lái),是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度? 討論結(jié)果： (1)利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)： 估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字.（最高矩形的中點(diǎn)） 估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等. 估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和. (2) 由上圖可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說(shuō)明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定. 我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range）.由上圖可以看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散；甲的極差小,數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中,這說(shuō)明甲比乙穩(wěn)定.運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡(jiǎn)單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí),就不容易得出結(jié)論. (3)選擇的依據(jù)應(yīng)該是,產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種,所以選擇乙更為合理. (4)不符合實(shí)際. 樣本太小,沒有代表性.若樣本里有個(gè)別高收入者與多數(shù)低收入者差別太大.在統(tǒng)計(jì)學(xué)里,對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析,需要結(jié)合實(shí)際,側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征.比如,市民平均收入問(wèn)題,都是考察數(shù)據(jù)的分散程度. (5)把問(wèn)題(3)中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來(lái).我們可以很直觀地知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近,即乙的分散程度小, 如何用數(shù)字去刻畫這種分散程度呢? 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差. 標(biāo)準(zhǔn)差： 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation).標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示. 所謂“平均距離”,其含義可作如下理解: 假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).xi到的距離是|xi-|(i=1,2,…,n). 于是,樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn到的“平均距離”是S=. 由于上式含有絕對(duì)值,運(yùn)算不太方便,因此,通常改用如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差: s=. 意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來(lái)表示穩(wěn)定性,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度就越小,也就越穩(wěn)定.從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出,標(biāo)準(zhǔn)差s≥0,當(dāng)s=0時(shí),意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù). 標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如, 在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)=1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868，所以 +s=2.841,+2s=3.709； -s=1.105,-2s=0.237. 這100個(gè)數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［-2s,+2s］=［0.237,3.709］外的只有4個(gè)，也就是說(shuō)，［-2s, +2s］幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù). 從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具： s2=［(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2］. 顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差. 需要指出的是,現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來(lái)近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的. 兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,實(shí)際應(yīng)用中比較廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差.如導(dǎo)入中的運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算器計(jì)算. 用計(jì)算器計(jì)算運(yùn)動(dòng)員甲的成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差的過(guò)程如下： 即s甲=2. 用類似的方法，可得s乙≈1.095. 由s甲>s乙可以知道,甲的成績(jī)離散程度大,乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì),乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定. 應(yīng)用示例 思路1 例1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖,說(shuō)明它們的異同點(diǎn). (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差. 解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如下： 四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83. 它們有相同的平均數(shù),但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的. 例2 甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm的一種零件.為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm): 甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高? 分析:每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體.由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40 mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來(lái)衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40 mm的差異大時(shí)質(zhì)量低,差異小時(shí)質(zhì)量高;當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí),總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低.這樣,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量,只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.但是,這兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想,我們可以通過(guò)抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),然后比較這兩個(gè)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個(gè)總體之間差異的估計(jì)值. 解：用計(jì)算器計(jì)算可得 ≈25.401，≈25.406; s甲≈0.037,s乙≈0.068. 從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40 mm),但是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于s甲0.02,所以,由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定. 例2 為了保護(hù)學(xué)生的視力,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下,試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差. 天數(shù) 151—180 181—210 211—240 241—270 271—300 301—330 331—360 361—390 燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命,再求平均壽命. 解：各組中值分別為165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均數(shù)約為1651%+195 11%+22518%+25520%+28525%+31516%+3457%+3752%=267.9≈268(天). 這些組中值的方差為［1(165-268)2+11(195-268)2+18(225-268)2+20(255-268)2+ 25(285-268)2+16(315-268)2+7(345-268)2+2(375-268)2］=2 128.60(天2). 故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約≈46（天）. 答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標(biāo)準(zhǔn)差約為46天. 知能訓(xùn)練 （1）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為____________. （2）若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是____________. (3)在相同條件下對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 試判斷選誰(shuí)參加某項(xiàng)重大比賽更合適？ 答案：（1）9.5,0.016 （2）a2s2 (3)＝33，＝33, , 乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定,應(yīng)選乙參加比賽更合適. 拓展提升 某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個(gè)養(yǎng)魚池放入一批魚苗,一年以后準(zhǔn)備出售,為了在出售以前估計(jì)賣掉魚后有多少收入,這個(gè)專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場(chǎng)的銷售價(jià)是每千克15元,請(qǐng)問(wèn),這個(gè)專業(yè)戶還應(yīng)該了解什么？怎樣去了解？請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一個(gè)方案. 解：這個(gè)專業(yè)戶應(yīng)了解魚的總重量,可以先捕出一些魚（設(shè)有x條）,作上標(biāo)記后放回魚塘,過(guò)一段時(shí)間再捕出一些魚（設(shè)有a條）,觀察其中帶有標(biāo)記的魚的條數(shù),作為一個(gè)樣本來(lái)估計(jì)總體,則 這樣就可以求得總條數(shù),同時(shí)把第二次捕出的魚的平均重量求出來(lái),就可以估計(jì)魚塘中的平均重量,進(jìn)而估計(jì)全部魚的重量,最后估計(jì)出收入. 課堂小結(jié) 1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類： 用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表一組數(shù)據(jù)的平均水平. 用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.樣本容量越大,估計(jì)就越精確,標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度. 2.用樣本估計(jì)總體的兩個(gè)手段（用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征）,需要從總體中抽取一個(gè)質(zhì)量較高的樣本,才能不會(huì)產(chǎn)生較大的估計(jì)偏差,且樣本容量越大,估計(jì)的結(jié)果也就越精確. 作業(yè) 習(xí)題2.2A組4、5、6、7,B組1、2. 設(shè)計(jì)感想 統(tǒng)計(jì)學(xué)科,最大的特點(diǎn)就是與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系,也是新教材的亮點(diǎn).僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式,簡(jiǎn)單模仿課本例題”來(lái)學(xué)習(xí),是絕對(duì)不行的.用樣本估計(jì)總體時(shí),如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以反映總體的信息,但從樣本得到的信息會(huì)有偏差,其原因在于樣本的隨機(jī)性.這種偏差是不可避免的.雖然我們從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差,而只是總體的一個(gè)估計(jì),但這種估計(jì)是合理的,特別是當(dāng)樣本的容量很大時(shí),它們確實(shí)反映了總體的信息.教師建議：親身經(jīng)歷“提出問(wèn)題,收集數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù),并作出合理決策”過(guò)程,在此過(guò)程中不僅可以加深對(duì)概念等知識(shí)的深刻理解,更重要的是發(fā)展了思維,培養(yǎng)了分析及解決問(wèn)題能力,同時(shí)在情感、意志等領(lǐng)域也得到了協(xié)調(diào)發(fā)展,這才是學(xué)校學(xué)習(xí)的科學(xué)而全面的目標(biāo),習(xí)題設(shè)置有層次,盡量源于教材,又高于教材,這也是高考命題原則.