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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念教學(xué)案 新人教A版必修3 預(yù)習(xí)課本P2～5，思考并完成以下問題 (1)利用加減消元法求解一般的二元一次方程組的步驟有哪些？ 　 (2)在數(shù)學(xué)中算法是如何定義的？ 　 (3)算法的特征是什么？ 　 (4)解決一類問題的算法是唯一的嗎？是不是任何一個算法都有明確的結(jié)果？ 　 　 1．算法的概念 在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟． 現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題． 2．算法的特征 (1)確定性：算法中每一步都是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果． (2)有限性：一個算法的步驟是有限的，不能無限地進(jìn)行下去，它能在有限步的操作后解決問題． (3)有序性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步． (4)不唯一性：解決一個問題可以有多種不同的算法． (5)普遍性：給出一個算法的程序步驟，它可以解決一類問題，并且能夠多次重復(fù)使用． 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)求解一類問題的算法是唯一的(　　) (2)算法必須在有限步驟操作之后解決問題(　　) (3)算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果(　　) 解析：由算法具有有限性、確定性和不唯一性可知(1)錯，(2)、(3)對． 答案：(1)　(2)√　(3)√ 2．下列敘述不能稱為算法的是(　　) A．從北京到上海先乘汽車到飛機(jī)場，再乘飛機(jī)到上海 B．解方程4x＋1＝0的過程是先移項(xiàng)再把x的系數(shù)化成1 C．利用公式S＝πr2計(jì)算半徑為2的圓的面積得π22 D．解方程x2－2x＋1＝0 解析：選D　選項(xiàng)A，B給出了解決問題的方法和步驟，是算法；選項(xiàng)C是利用公式計(jì)算，也屬于算法；選項(xiàng)D只提出問題沒有給出解決的方法，不是算法． 3．下面是某人出家門先打車去火車站，再坐火車去北京的一個算法，請補(bǔ)充完整． 第一步，出家門． 第二步，________________. 第三步，坐火車去北京． 答案：打車去火車站 算法概念的理解 [典例]　下列說法正確的是(　　) A．算法就是某個問題的解題過程 B．算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果 C．解決某一個具體問題算法不同，則結(jié)果不同 D．算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大，否則無法實(shí)施 [解析]　選項(xiàng)B正確，例如：判斷一個整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項(xiàng)A，算法不能等同于解法；選項(xiàng)C，解決某一個具體問題算法不同，但結(jié)果應(yīng)相同；選項(xiàng)D，算法可以為很多次，但不可以無限次． [答案]　B 算法實(shí)際上是解決問題的一種程序性方法，它通常解決某一個或一類問題，用算法解決問題，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想． [活學(xué)活用] 有人對哥德巴赫猜想“任何大于4的偶數(shù)都能寫成兩個奇質(zhì)數(shù)之和”設(shè)計(jì)了如下操作步驟： 第一步，檢驗(yàn)6＝3＋3. 第二步，檢驗(yàn)8＝3＋5. 第三步，檢驗(yàn)10＝5＋5. …… 利用計(jì)算機(jī)一直進(jìn)行下去！ 請問：利用這種步驟能夠證明猜想的正確性嗎？這是一個算法嗎？ 解：利用這種步驟不能證明猜想的正確性．此步驟不滿足算法的有限性，因此不是算法. 算法的設(shè)計(jì) [典例]　寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一個算法． [解]　法一：第一步，計(jì)算1＋2得到3. 第二步，將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加得到6. 第三步，將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加得到10. 第四步，將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加得到15. 第五步，將第四步中的運(yùn)算結(jié)果15與6相加得到21. 法二：第一步，將原式變形為(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝37. 第二步，計(jì)算37. 設(shè)計(jì)具體問題的算法的一般步驟 (1)分析問題，找出解決問題的一般數(shù)學(xué)方法； (2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對算法加以表述； (3)將解決問題的過程劃分為若干步驟； (4)用簡練的語言將這個步驟表示出來． [活學(xué)活用] 1．求1357911的值的一個算法如下，請補(bǔ)充完整． 第一步，求13得結(jié)果3. 第二步，將第一步所得結(jié)果3乘以5，得到結(jié)果15. 第三步，_________________________________________________________________. 第四步，再將第三步所得結(jié)果105乘以9，得到結(jié)果945. 第五步，再將第四步所得結(jié)果945乘以11，得到結(jié)果10 395，即為最后結(jié)果． 解析：依據(jù)算法功能可知，第三步應(yīng)為“再將第二步所得結(jié)果15乘以7，得到結(jié)果105”． 答案：再將第二步所得結(jié)果15乘以7，得到結(jié)果105 2．寫出解方程x2－2x－3＝0的一個算法． 解：法一：第一步，移項(xiàng)得x2－2x＝3.① 第二步，①式兩邊同時(shí)加1，并配方得(x－1)2＝4.② 第三步，②式兩邊開方，得x－1＝2.③ 第四步，解③式得x1＝3，x2＝－1. 法二：第一步，計(jì)算出一元二次方程的判別式的值，并判斷其符號．顯然Δ＝(－2)2－41(－3)＝16>0. 第二步，將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1,2＝，得x1＝3，x2＝－1. [層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)] 1．下列關(guān)于算法的說法中正確的個數(shù)有(　　) ①求解某一類問題的算法是唯一的；②算法必須在有限步驟操作之后停止；③x2－x＞2是一個算法；④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果． A．1　　　　　　　 　　 B．2 C．3 D．4 解析：選B　依據(jù)算法的多樣性(不唯一性)知①錯誤；由算法的有限性，確定性知②④正確；因?yàn)閤2－x＞2僅僅是一個數(shù)學(xué)問題，不能表達(dá)一個算法，所以③是錯誤的；由于算法具有可執(zhí)行性，正確的有②④. 2．已知直角三角形兩直角邊長為a，b，求斜邊長c的一個算法分下列三步：(　　) ①計(jì)算c＝；②輸入直角三角形兩直角邊長a，b的值；③輸出斜邊長c的值．其中正確的順序是(　　) A．①②③ B．②③① C．①③② D．②①③ 解析：選D　明確各步驟間的關(guān)系即可知D選項(xiàng)正確． 3．下列敘述中， ①植樹需要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟； ②按順序進(jìn)行下列運(yùn)算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100； ③從青島乘火車到濟(jì)南，再從濟(jì)南乘飛機(jī)到廣州； ④3x＞x＋1； ⑤求所有能被3整除的正數(shù)，即3,6,9,12，…. 能稱為算法的個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選B　根據(jù)算法的含義和特征知：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x＞x＋1不是一個明確的步驟，不符合確定性；⑤的步驟是無窮的，與算法的有限性矛盾． 4．下列所給問題中，不能設(shè)計(jì)一個算法求解的是(　　) A．用“二分法”求方程x2－3＝0的近似解(精確度0.01) B．解方程組 C．求半徑為2的球的體積 D．求S＝1＋2＋3＋…的值 解析：選D　對于D，S＝1＋2＋3＋…，不知道需要多少步完成，所以不能設(shè)計(jì)一個算法求解． [層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)] 1．一個廠家生產(chǎn)商品的數(shù)量按照每年比前一年都增加18%的比率遞增，若第一年的產(chǎn)量為a，“計(jì)算第n年的產(chǎn)量”的算法中用到的一個函數(shù)解析式是(　　) A．y＝an0.18 B．y＝a(1＋18%)n C．y＝a(1＋18%)n－1 D．y＝n(1＋18%)n 解析：選C　根據(jù)已知條件可以得出滿足題意的函數(shù)解析式為y＝a(1＋18%)n－1. 2．如下算法： 第一步，輸入x的值． 第二步，若x≥0，則y＝x. 第三步，否則，y＝x2. 第四步，輸出y的值． 若輸出的y值為9，則x的值是(　　) A．3 B．－3 C．3或－3 D．－3或9 解析：選D　根據(jù)題意可知，此為分段函數(shù) y＝的算法， 當(dāng)x≥0時(shí)，x＝9； 當(dāng)x＜0時(shí)，x2＝9，所以x＝－3. 綜上所述，x的值是－3或9. 3．對于算法： 第一步，輸入n. 第二步，判斷n是否等于2，若n＝2，則n滿足條件；若n>2，則執(zhí)行第三步． 第三步，依次從2到(n－1)檢驗(yàn)?zāi)懿荒苷齨，若不能整除n，則執(zhí)行第四步；若能整除n，則結(jié)束算法． 第四步，輸出n. 滿足條件的n是(　　) A．質(zhì)數(shù) B．奇數(shù) C．偶數(shù) D．約數(shù) 解析：選A　此題首先要理解質(zhì)數(shù)，只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫質(zhì)數(shù).2是最小的質(zhì)數(shù)，這個算法通過對2到(n－1)一一驗(yàn)證，看是否有其他約數(shù)，來判斷其是否為質(zhì)數(shù)． 4．早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀?5 min)、刷水壺(2 min)、燒水(8 min)、泡面(3 min)、吃飯(10 min)、聽廣播(8 min)幾個過程．從下列選項(xiàng)中選出最好的一種算法(　　) A．第一步，洗臉?biāo)⒀溃诙剑⑺畨兀谌?，燒水．第四步，泡面．第五步，吃飯．第六步，聽廣播 B．第一步，刷水壺．第二步，燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀溃谌?，泡面．第四步，吃飯．第五步，聽廣播 C．第一步，刷水壺．第二步，燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀溃谌?，泡面．第四步，吃飯同時(shí)聽廣播 D．第一步，吃飯同時(shí)聽廣播．第二步，泡面．第三步，燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀溃谒牟?，刷水? 解析：選C　因?yàn)锳選項(xiàng)共用時(shí)間36 min，B選項(xiàng)共用時(shí)間31 min，C選項(xiàng)共用時(shí)間23 min，D選項(xiàng)的算法步驟不符合常理，故選C. 5．以下是解二元一次方程組的一個算法，請將該算法補(bǔ)充完整． 第一步，①②兩式相加得3x＋9＝0.　?、? 第二步，由③式可得________. ④ 第三步，將④式代入①式，得y＝0. 第四步，輸出方程組的解________． 解析：由3x＋9＝0，得x＝－3，即④處應(yīng)填x＝－3；把x＝－3代入2x－y＋6＝0，得y＝0，即方程組的解為 答案：x＝－3　 6．已知一個學(xué)生的語文成績?yōu)?9，數(shù)學(xué)成績?yōu)?6，外語成績?yōu)?9，求他的總分和平均成績的一個算法為： 第一步，輸入A＝89，B＝96，C＝99. 第二步，__________________________. 第三步，__________________________. 第四步，輸出計(jì)算的結(jié)果． 解析：應(yīng)先計(jì)算總分D＝A＋B＋C，然后再計(jì)算平均成績E＝. 答案：計(jì)算總分D＝A＋B＋C　計(jì)算平均成績E＝ 7．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的步驟是________(填序號)． ①配方得(x－2)2＝1； ②移項(xiàng)得x2－4x＝－3； ③解得x＝1或x＝3； ④開方得x－2＝1. 解析：使用配方法的步驟應(yīng)按移項(xiàng)、配方、開方、得解的順序進(jìn)行． 答案：②①④③ 8．對任意三個整數(shù)a，b，c，寫出求最大數(shù)的算法． 解：算法如下： 第一步，令max＝a. 第二步，比較max與b的大小，若b>max，則令max＝b；否則，執(zhí)行第三步． 第三步，比較max與c的大小，若c>max，則令max＝c；否則，執(zhí)行第四步． 第四步，max就是a，b，c中的最大數(shù)． 9．已知直線l1：3x－y＋12＝0和直線l2：3x＋2y－6＝0，設(shè)計(jì)一個算法，求l1和l2及y軸所圍成的三角形的面積． 解：算法如下： 第一步，解方程組得l1，l2的交點(diǎn)為P(－2，6)． 第二步，在方程3x－y＋12＝0中，令x＝0，得y＝12，從而得到l1與y軸的交點(diǎn)為A(0,12)． 第三步，在方程3x＋2y－6＝0中，令x＝0，得y＝3，從而得到l2與y軸的交點(diǎn)為B(0,3)． 第四步，求出△ABP的邊長AB＝12－3＝9. 第五步，求出△ABP的邊AB上的高h(yuǎn)＝2. 第六步，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算S＝ABh＝92＝9. 第七步，輸出S.