2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 第九課時(shí) 二倍角的正弦、余弦、正切(三)教案 蘇教版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 第九課時(shí) 二倍角的正弦、余弦、正切(三)教案 蘇教版必修3 教學(xué)目標(biāo): 靈活應(yīng)用和、差、倍角公式,掌握和差化積與積化和差的方法;培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系變化的觀點(diǎn),提高學(xué)生的思維能力. 教學(xué)重點(diǎn): 和角化歸的二倍角公式的變形式的理解與應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn): 二倍角公式的變形式的靈活應(yīng)用. 教學(xué)過程: Ⅰ.課題導(dǎo)入 現(xiàn)在我們進(jìn)一步探討和角、差角、倍角公式的應(yīng)用. 先看本章開始所提問題,在章頭圖中,令∠AOB=θ,則AB=asinθ,OA=acosθ,所以矩形ABCD的面積 S=asinθ2acosθ=a22sinθcosθ=a2sin2θ≤a2 當(dāng)sin2θ=1,即2θ=90,θ=45時(shí),a2sin2θ=a2=S 不難看出,這時(shí)A、D兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離都是a,矩形的面積最大,于是問題得到解決. Ⅱ.講授新課 [例1]求證sin2= 分析:此等式中的α可作為的2倍. 證明:在倍角公式cos2α=1-2sin2α中以α代替2α,以代替α,即得 cosα=1-2sin2 ∴sin2= 請(qǐng)同學(xué)們?cè)囎C以下兩式: (1)cos2= (2)tan2= 證明:(1)在倍角公式cos2α=2cos2α-1中以α代替2α、以代替α, 即得cosα=2cos2-1, ∴cos2= (2)由tan2= sin2= cos2= 得tan2= 這是我們剛才所推證的三式,不難看出這三式有兩個(gè)共同特點(diǎn): (1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即半角的三角函數(shù); (2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達(dá)到“降次”的目的). 這一組式子也可稱為半角公式,但不要求大家記憶,只要理解并掌握這種推證方法. 另外,在這三式中,如果知道cosα的值和角的終邊所在象限,就可以將右邊開方,從而求得sin、cos與tan. 下面,再來看一例子. [例2]求證:sinαcosβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] 分析:只要將S(α+β)、S(α-β)公式相加,即可推證. 證明:由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ① sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ② ①+②得: sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 即:sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] 請(qǐng)同學(xué)們?cè)囎C下面三式: (1)cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] (2)cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] (3)sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] 證明:(1)由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ① sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ② ①-②得:sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ 即:cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] (2)由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ① cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ② ①+②得:cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 即:cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] (3)由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ① cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ② ①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ 即:sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] 不難看出,這一組式子也有一共同特點(diǎn),即,左式均是乘積形式,右式均為和差形式,利用這一式可將乘積形式轉(zhuǎn)化為和差形式,也可稱為積化和差公式. 和差形式是否可以化為乘積的形式呢?看這一例子. [例3]求證sinθ+sin=2sincos分析:θ可有+代替, =- 證明:左式=sinθ+sin =sin[+]+sin[-] =sincos+cossin+sincos-cossin =2sincos=右邊 請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮C下面三式. (1)sinθ-sin=2cossin; (2)cosθ+cos=2coscos; (3)cosθ-cos=-2sinsin. 證明:(1)令θ=+,=- 則左邊=sinθ-sin =sin[+]-sin[-] =sincos+cossin-sincos+cossin =2cossin=右邊 (2)左邊=cosθ+cos =cos[+]+cos[-] =coscos-sinsin+coscos+sinsin =2coscos=右邊 (3)左邊=cosθ-cos =cos[+]-cos[-] =coscos-sinsin-coscos-sinsin =-2sinsin=右邊. 這組式子的特點(diǎn)是左式為和差形式,右式為積的形式,所以這組式子也可稱為和差化積公式,只要求掌握這種推導(dǎo)方法,不要求記憶. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.已知α、β為銳角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.求證:α+2β= 證法一:由已知得3sin2α=cos2β ① 3sin2α=2sin2β ② ①②得tanα===tan(-2β) ∵α、β為銳角,∴0<β<,0<2β<π,-π<-2β<0, ∴-<-2β< ∴α=-2β,α+2β= 證法二:由已知可得: 3sin2α=cos2β,3sin2α=2sin2β ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =cosα3sin2α-sinαsin2α=3sin2αcosα-sinα3sinαcosα=0 又由α+2β∈(0,) ∴α+2β= 證法三:由已知可得 ①② ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β =sinα3sin2α+cosαsin2α=3sinα(sin2α+cos2α)=3sinα 又由②,得3sinαcosα=sin2β ③ ①2+③2,得9sin4α+9sin2αcos2α=1 ∴sinα=,即sin(α+2β)=1 又0<α+2β<,∴α+2β= 評(píng)述:一般地,若所求角在(0,π)上,則一般取此角的余弦較為簡(jiǎn)便;若所求角在(-,)上,則一般取此角的正弦較為簡(jiǎn)便;當(dāng)然,若已知條件與正切函數(shù)關(guān)系比較密切,也可考慮取此角的正切. 2.在△ABC中,sinA是cos(B+C)與cos(B-C)的等差中項(xiàng),試求(1)tanB+tanC的值. (2)證明tanB=(1+tanC)cot(45+C) (1)解:△ABC中,sinA=sin(B+C) ∴2sin(B+C)=cos(B+C)+cos(B-C) ∴2sinBcosC+2cosBsinC=2cosBcosC ∵cosBcosC≠0 ∴tanB+tanC=1 (2)證明:又由上:tanβ=1-tanC =(1+tanC) =(1+tanC)tan(45-C)=(1+tanC)cot(45+C) Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),要掌握推導(dǎo)積化和差、和差化積公式的方法,雖不要求記憶,但要知道它們的互化關(guān)系.另外,要注意半角公式的推導(dǎo)與正確使用.當(dāng)然,這些都是在熟練掌握二倍角公式的基礎(chǔ)上完成的. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P111習(xí)題 7、8、10. 二倍角的正弦、余弦、正切 1.已知sinα=,2π<α<3π,那么sin+cos等于 ( ) A. B.- C. D.- 2.sin10sin30sin50sin70的值是 ( ) A. B. C. D. 3.已知f(sinx)=cos2x,則f(x)等于 ( ) A.2x2-1 B.1-2x2 C.2x D.-2x 4.設(shè)sinα∶sin=8∶5,則cosα等于 ( ) A. B. C. D.1 5.(sin+cos)(sin-cos)= . 6.化簡(jiǎn)cos(-α)cos(+α)= . 7.sin2-= . 8.= . 9.已知cos2α=,α∈(0, ),sinβ=-,β∈(π, ),求cos(α+β). 10.已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,求cos的值. 11.已知sin(α+)=,cos(-β)=,且-<α<,<β<,求cos(α-β). 二倍角的正弦、余弦、正切答案 1.D 2.A 3.B 4.B 5.- 6.cos2α 7.- 8. 9.已知cos2α=,α∈(0, ),sinβ=-,β∈(π, ),求cos(α+β). 解:由α∈(0, )得sinα==,cosα= ∵β∈(π, ), ∴cosβ=-=- 代入cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(-)-(-)=- 10.已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,求cos的值. 兩式平方相加,得1+1+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=+= ∴cos(α-β)=-,cos2=== ∴cos= 11.已知sin(α+)=,cos(-β)=,且-<α<,<β<,求cos(α-β). ∵-<α<,∴<α+<π ∴cos(α+)=-=- ∵<β<,∴-<-β<0 ∴sin(-β)=-=- ∴cos(α-β)=-cos[(α+)+(-β)] =sin(α+)sin(-β)-cos(α+)cos(-β)=(-)-(-)=.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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