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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教案 理 教材分析 這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式sin2a＋cos2a＝1與，并初步進行這些公式的兩類基本應(yīng)用．教學(xué)重點是公式sin2a＋cos2a＝1與的推導(dǎo)及以下兩類基本應(yīng)用： （1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個，求其余兩個三角函數(shù)． （2）化簡三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式． 其中，已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時，正負號的選擇是本節(jié)的一個難點，正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關(guān)鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個難點．課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨立解決問題，優(yōu)化自己的解題過程． 教學(xué)目標 1. 讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐、探索、研究能力． 2. 理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能初步運用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，邏輯推理能力． 3. 通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí)，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀． 任務(wù)分析 這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進行初步的應(yīng)用．由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨立完成，即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識探索出來，并用以解決新的問題．必要時，教師可以在以下幾點上加以強調(diào)：（1）“同角”二字的含義．（2）關(guān)系式的適用條件．（3）化簡題最后結(jié)果的形式．（4）怎樣優(yōu)化解題過程． 教學(xué)設(shè)計 一、問題情境 教師出示問題：上一節(jié)內(nèi)容，我們學(xué)習(xí)了任意角α的六個三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎？你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎？ 二、建立模型 1. 引導(dǎo)學(xué)生寫出任意角α的六個三角函數(shù)，并探索它們之間的關(guān)系 在角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離是r（r＞0），則角α的六個三角函數(shù)值是 2. 推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式 引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析和討論，消元（消去x，y，r），從而獲取下述基本關(guān)系． （1）平方關(guān)系：sin2a＋cos2a＝1． （2）商數(shù)關(guān)系：t： 說明：①當放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，部分學(xué)生可能會利用三角函數(shù)線，借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結(jié)論．對于這種推導(dǎo)方法，教師也應(yīng)給以充分肯定，并進一步引導(dǎo)學(xué)生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1． ②除以上兩個關(guān)系式外，也許部分學(xué)生還會得出如下關(guān)系式：. 教師點撥：這些關(guān)系式都很對，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負擔(dān)，只須記住（1）和（2）即可．以上關(guān)系式均為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式． 教師啟發(fā)：（1）對“同角”二字，大家是怎樣理解的？ （2）這兩個基本關(guān)系式中的角α有沒有范圍限制？ （3）自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系，大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣，也許每天都會有新的發(fā)現(xiàn)．剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問題呢？ 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值． 2. 已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值． 說明：這兩個題是關(guān)系式的基本應(yīng)用，應(yīng)讓學(xué)生獨立完成．可選兩名同學(xué)到黑板前板書，以便規(guī)范解題步驟． 變式1　在例2中若去掉“且α是第二象限角”，該題的解答過程又將如何？ 師生一起完成該題的解答過程． 解：由題意和基本關(guān)系式，列方程組，得 由②，得sinα＝－cosα， 代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝． ∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角． 當α是第二象限角時，cosα＝－， 代入②式，得； 當α是第四象限角時，cosα＝， 代入②式，得. 小結(jié)：由平方關(guān)系求值時，要涉及開方運算，自然存在符號的選取問題．由于本題沒有具體指明α是第幾象限角，因此，應(yīng)針對α可能所處的象限，分類討論． 變式2　把例2變?yōu)椋? 已知tanα＝－，求的值． 解法1：由tanα＝－及基本關(guān)系式可解得 針對兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況，教師及時點撥： 觀察所求式子的特點，看能不能不通過求sinα，cosα的值而直接得出該分式的值． 學(xué)生得到如下解法： 由此，引出變式3． 已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值． 有了上一題的經(jīng)驗，學(xué)生會得到如下解法： 教師歸納、啟發(fā)：這個方法成功地避免了開方運算，因而也就避開了不必要的討論．遺憾的是，因為它不是分式形式，所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷．那么，能解決這一矛盾嗎？ 學(xué)生得到如下解法： 教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)：（1）由于開方運算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應(yīng)盡量避免． （2）當式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n（n∈N且n≥1）次冪的齊次式時，采用上述方法可優(yōu)化解題過程． ［練　習(xí)］ 當學(xué)生完成了以上題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論如下問題： （1）化簡題的結(jié)果一定是“最簡”形式，對三角函數(shù)的“最簡”形式，你是怎樣理解的？ （2）關(guān)于三角函數(shù)恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧？ 四、拓展延伸 教師出示問題，啟發(fā)學(xué)生一題多解，并激發(fā)學(xué)生的探索熱情． 已知sinα－cosα＝－，180＜α＜270，求tanα的值． 解法1：由sinα－cosα＝－，得 反思：（1）解法1的結(jié)果比解法2的結(jié)果多了一個，看來產(chǎn)生了“增根”，那么，是什么原因產(chǎn)生了增根呢？ （2）當學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的過程中，α的范圍變大了時，教師再點撥： 怎樣才能使平方變形是等價的呢？ 由學(xué)生得出如下正確答案： ∵180＜α＜270，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2． 強調(diào)：非等價變形是解法1出錯的關(guān)鍵！ 點　評 這篇案例力求體現(xiàn)新課程理念下的以人為本的思想，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用．教師充當著學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、支持者和幫助者的角色．教師和學(xué)生是本課的共同參與者，共同努力完成了這一節(jié)課的教學(xué)活動．在這節(jié)課上，學(xué)生的積極性被充分調(diào)動起來，從而使學(xué)生在積極思維的活動中取得了成功并飽嘗到了成功的喜悅．案例中的教學(xué)活動體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)和探索性學(xué)習(xí)的方法． 總之，充分調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性，強調(diào)質(zhì)疑和化疑，是這篇案例的成功之處．