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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 算法案例教案 蘇教版必修3(1) 總 課 題 算法案例 總課時(shí) 第 9 課時(shí) 分 課 題 算法案例 分課時(shí) 第 1 課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 通過(guò)了解中國(guó)古代算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)． 重點(diǎn)難點(diǎn) 通過(guò)案例分析，體會(huì)算法思想，熟練算法設(shè)計(jì)． 1例題剖析 【案例1】 韓信是秦末漢初的著名軍事家，據(jù)說(shuō)有一次漢高祖劉邦在衛(wèi)士的簇?fù)硐聛?lái)到練兵場(chǎng)，劉邦問(wèn)韓信有什么辦法，不要逐個(gè)報(bào)數(shù)，就能知道場(chǎng)上士兵的人數(shù)． 韓信先令士兵排成3列縱隊(duì)，結(jié)果有2人多余；接著他立刻下令將隊(duì)形改為5列縱隊(duì)，這一改，又多出3人；隨后他又下令改為7列縱隊(duì)，這一次又剩下2人無(wú)法成整行．韓信看此情形，立刻報(bào)告共有士兵2333人． 眾人都愣了，不知韓信用什么辦法清點(diǎn)出準(zhǔn)確人數(shù)的． 這個(gè)故事是否屬實(shí)，已無(wú)從查考，但這個(gè)故事卻引出一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即聞名世界的“孫子問(wèn)題”． 這種神機(jī)妙算，最早出現(xiàn)在我國(guó)《算經(jīng)十書(shū)》之一的《孫子算經(jīng)》中，原文是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？答曰：二十三．” 所以人們將這種問(wèn)題的通用解法稱為“孫子剩余定理”或“中國(guó)剩余定理”． 【算法設(shè)計(jì)思想】 “孫子問(wèn)題”相當(dāng)于求關(guān)于的不定方程組的整數(shù)解． 設(shè)所求的數(shù)為，根據(jù)題意，應(yīng)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件： （1）被除后余，即； （2）被除后余，即； （3）被除后余，即； 首先，從開(kāi)始檢驗(yàn)條件，若個(gè)條件中有任何一個(gè)不滿足，則遞增，當(dāng)同時(shí)滿足個(gè)條件時(shí)，輸出． 【流程圖】 【偽代碼】 【案例2】 寫(xiě)出求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的一個(gè)算法． 公元前3世紀(jì)，歐幾里得介紹了求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法，即求出一列數(shù)：，這列數(shù)從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)相除所得的余數(shù)（即），余數(shù)等于的前一項(xiàng)，即是和的最大公約數(shù)，這種方法稱為“歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法”． 【算法設(shè)計(jì)思想】 歐幾里得展轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟是：計(jì)算出的余數(shù)，若，則即為的最大公約數(shù)；若，則把前面的除數(shù)作為新的被除數(shù)，把余數(shù)作為新的除數(shù)，繼續(xù)運(yùn)算，直到余數(shù)為，此時(shí)的除數(shù)即為的最大公約數(shù)． 求的最大公約數(shù)的算法為： 輸入兩個(gè)正整數(shù)； 如果，那么轉(zhuǎn)，否則轉(zhuǎn)； ； ； ，轉(zhuǎn)； 輸出． 【流程圖】 【偽代碼】 【案例3】 寫(xiě)出方程在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)近似解（誤差不超過(guò)）的一個(gè)算法． 【算法設(shè)計(jì)思想】 如下圖：如果設(shè)計(jì)出方程在某區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，就能用二分搜索求得符合誤差限制的近似解． 算法步驟可表示為： 取的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二； 若，則就是方程的根，否則判斷根在的左側(cè)還是右側(cè)； 若，則，以代替； 若，則，以代替； 若，計(jì)算終止，此時(shí)，否則轉(zhuǎn)． 【流程圖】 【偽代碼】 1鞏固練習(xí) 1．下面一段偽代碼的目的是______________________________________________． ， While c m n While 注明：案例3的圖 2．在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像判斷方程的解的范圍，再用二分法求這個(gè)方程的近似解（誤差不超過(guò)），并寫(xiě)出這個(gè)算法的偽代碼，畫(huà)出流程圖． 1課堂小結(jié) 通過(guò)案例分析，體會(huì)算法思想，熟練算法設(shè)計(jì)，進(jìn)一步理解算法的基本思想，在分析案例的過(guò)程中設(shè)計(jì)規(guī)范合理的算法．1課后訓(xùn)練 班級(jí)：高二（ ）班 姓名：____________ 一　基礎(chǔ)題 1．一種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩留下來(lái)的物質(zhì)的質(zhì)量約為原來(lái)，那么，約經(jīng)過(guò)多少年，剩留的質(zhì)量是原來(lái)的一半？試寫(xiě)出運(yùn)用二分法計(jì)算這個(gè)近似值的偽代碼． 2．設(shè)計(jì)一個(gè)算法，計(jì)算兩個(gè)正整數(shù)的最小公倍數(shù)． 二　提高題 3．判斷某年份是否為閏年，要看此年份數(shù)能否被整除．若不能被整除則是平年，月是天；若能被整除但不能被整除，則該年是閏年，月是天；若能被整除又能被整除，還要看能否被整除，若能則為閏年，否則為平年． 畫(huà)出上述算法的流程圖，并寫(xiě)出偽代碼． 4．我國(guó)古代勞動(dòng)人民對(duì)不定方程的研究作出過(guò)重要貢獻(xiàn)，其中《張丘建算經(jīng)》中的“百雞問(wèn)題”就是一個(gè)很有影響力的不定方程問(wèn)題，今有雞翁一值錢(qián)五，雞母一值錢(qián)三，雞雛三值錢(qián)一，凡百錢(qián)買(mǎi)百只，問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何． 其意思是： 一只公雞的價(jià)格是錢(qián)，一只母雞的價(jià)格是錢(qián)，三只小雞的價(jià)格是錢(qián)，想用錢(qián)買(mǎi)只雞，問(wèn)公雞、母雞、小雞個(gè)買(mǎi)幾只．設(shè)分別代表公雞、母雞、小雞的只數(shù)，我們可以大致確定的取值范圍：若錢(qián)全買(mǎi)公雞，則最多可買(mǎi)只，即的取值范圍是；若錢(qián)全買(mǎi)母雞，則最多可買(mǎi)只，即的取值范圍是；當(dāng)在各自的范圍內(nèi)確定后，小雞的只數(shù)也就確定了． 根據(jù)上述算法思想，畫(huà)出求解的流程圖，并寫(xiě)出相應(yīng)的偽代碼．