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2019-2020年高中數(shù)學《1.1.1 正弦定理》教案2 新人教A版必修5 ●教學目標 知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。 過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。 情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 ●教學重點 正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。 ●教學難點 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。 ●教學過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。 A 思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否 用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ C B Ⅱ.講授新課 [探索研究] (圖1．1-1) 在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又, A 則 b c 從而在直角三角形ABC中， C a B (圖1．1-2) 思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ （由學生討論、分析） 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖1．1-3，當ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C 同理可得， b a 從而 A c B (圖1．1-3) 思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 （證法二）：過點A作， C 由向量的加法可得 則 A B ∴ ∴，即 同理，過點C作，可得 從而 類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學生課后自己推導(dǎo)） 從上面的研探過程，可得以下定理 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，； （2）等價于，， 從而知正弦定理的基本作用為： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。 [例題分析] 例1．在中，已知，，cm，解三角形。 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ； 根據(jù)正弦定理， ； 根據(jù)正弦定理， 評述：對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器。 例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。 解：根據(jù)正弦定理， 因為＜＜，所以，或 ⑴ 當時， ， ⑵ 當時， ， 評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。 Ⅲ.課堂練習 第5頁練習第1（1）、2（1）題。 [補充練習]已知ABC中，，求 （答案：1：2：3） Ⅳ.課時小結(jié)（由學生歸納總結(jié)） （1）定理的表示形式：； 或，， （2）正弦定理的應(yīng)用范圍： ①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。 Ⅴ.課后作業(yè) 第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。 ●板書設(shè)計 ●授后記