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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 7.5 曲線的方程（二）優(yōu)秀教案 教學(xué)目的： 1．了解什么叫軌跡，并能根據(jù)所給的條件，選擇恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求曲線的軌跡方程，畫出方程所表示的曲線 2．在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，以及坐標(biāo)法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學(xué)方法 3．培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、合情推理、合作交流及獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及主動(dòng)參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神 教學(xué)重點(diǎn)：求曲線方程的方法、步驟． 教學(xué)難點(diǎn)：定義中規(guī)定兩個(gè)關(guān)系（純粹性和完備性） 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教法分析： 第一課時(shí)概念強(qiáng)、思維量大、例題習(xí)題不多使用啟發(fā)方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 第二、第三課時(shí)規(guī)律性強(qiáng)，題目多，可結(jié)合實(shí)際靈活采用教學(xué)方法．在探索一般性解題方法時(shí)，可采用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，在方法的應(yīng)用及拓廣時(shí)，可采用歸納法；在訓(xùn)練與反饋部分，則主要采用講練結(jié)合法進(jìn)行 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義： 在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（純粹性） (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．（完備性） 那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線 2．定義的理解：在領(lǐng)會(huì)定義時(shí)，要牢記關(guān)系(1)、(2)兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件．兩者滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性．只有符合關(guān)系(1)、(2)，才能將曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來研究，即幾何問題的研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．這種“以數(shù)論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方法 二、講解新課： 1. 坐標(biāo)法 在笛卡爾以前，人們對(duì)代數(shù)方程已經(jīng)有了一定的研究，但是對(duì)于二元方程的研究較少，因?yàn)榇蠹艺J(rèn)識(shí)到二元方程的解都是不確定的 對(duì)于這種“不定方程”，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，大多數(shù)人都認(rèn)為研究它是沒有意義的，是不必要的。笛卡爾卻對(duì)對(duì)這個(gè)“沒有意義的課題”賦予了新的生命，他沒有把看成是未知數(shù)，而是創(chuàng)造性地把看成是變量(從此，變量引入了數(shù)學(xué))，讓連續(xù)地變，則對(duì)每一個(gè)確定的的值，一般來說都可以從方程算出相應(yīng)的值(這就是函數(shù)思想的萌芽) 然后，他把這些點(diǎn)的集合便構(gòu)成了一條曲線C 由這樣得出的曲線C和方程有非常密切的關(guān)系：曲線上每一個(gè)點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)都是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解；反之，方程的每一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上 這就是說，曲線上的點(diǎn)集和方程的實(shí)數(shù)解集具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 這個(gè)“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系導(dǎo)致了曲線的研究也可以轉(zhuǎn)化成對(duì)曲線的研究 這種通過研究方程的性質(zhì)，間接地來研究曲線性質(zhì)的方法叫做坐標(biāo)法（就是借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法） 根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，可以建立不同的坐標(biāo)系 最常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)。在目前的中學(xué)階段只采用了直角坐標(biāo)系 2．解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的一門學(xué)科，叫解析幾何 它是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)學(xué)科，產(chǎn)生于十七世紀(jì)初期，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何的奠基人 另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也是解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者 他們創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義：一是在數(shù)學(xué)中首次引入了變量的概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來了 解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)開端的標(biāo)志，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開辟了廣闊的領(lǐng)域 3．平面解析幾何研究的主要問題 根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質(zhì) 本節(jié)主要通過例題的形式學(xué)習(xí)第一個(gè)問題，即如何求曲線的方程 小結(jié)時(shí)總結(jié)出求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟 4．求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟： （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； （2）寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合； （3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程; （4）化方程為最簡(jiǎn)形式； （5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 三、講解范例：選題意圖：考查求軌跡方程的基本方法 例１、設(shè)Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的坐標(biāo)是 (-1, -1)、(3,7),求線　 段ＡＢ的垂直平分線方程 . M A B 解：設(shè)M（x,y）是 線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)M屬于集合P={M||MA|=|MB|}由兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)M所適合的條件 可表示為： 將上式兩邊平方，整理得 x+2y-7=0 （1） 證明：方程（1）是線段AB的垂直平分線的方程 1、由求解過程知，垂直平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解. 2、設(shè)(x1,y1)是方程（1）的解， x1+2y1-7=0 ，x1=7-2y1 點(diǎn)M到A、B的距離分別是|MA|= ，|MB|= ∴|MA|=|MB|，即M在線段AB的垂直平分線上 由(1)(2)知方程（1）是線段AB的垂直平分線的方程 例2 點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程. 解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的軌跡就是到坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合 P=｛Ｍ｜｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜｝， 其中Q、R分別是點(diǎn)M到x軸、y軸的垂線的垂足 因?yàn)辄c(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，所以條件｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜可寫成｜｜＝｜｜即=0 ① 下面證明①是所求軌跡的方程 (1)由求方程的過程可知，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①的解； (2) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程①的解，那么＝０，即 ｜｜＝｜｜，而｜｜、｜｜正是點(diǎn)到縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn) 由(1)(2)可知，方程①是所求軌跡的方程，圖形如圖所示. 點(diǎn)評(píng)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能使求軌跡方程的過程較簡(jiǎn)單.所求方程的形式較“整齊” 例3 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，0)、(-1,0),若，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 解：設(shè)M的坐標(biāo)為，M屬于集合P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，點(diǎn)M所適合的條件可表示為 ， 整理后得 (≠1) 下面證明 (x≠1)是點(diǎn)M的軌跡方程 (1)由求方程的過程可知，M的坐標(biāo)都是方程 (x≠1)的解； (2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程 (x≠1)的解， 即， ∴ 由上述證明可知，方程 (x≠1)是點(diǎn)M的軌跡方程 說明：所求的方程后面應(yīng)加上條件ｘ≠１ 例4 已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一個(gè)點(diǎn)到A（0，2）的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程 分析：這條曲線是到A點(diǎn)的距離與其到軸的距離的差是2的點(diǎn)的集合或軌跡的一部分 解：設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，MB⊥軸，垂足是B，那么點(diǎn)M屬于集合P={M｜｜MA｜-｜MB｜=2} 即 =2 整理得 , ∴ 因?yàn)榍€在軸的上方，所以y＞0，雖然原點(diǎn)O的坐標(biāo)（0，0）是這個(gè)方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應(yīng)是： (≠0) 它的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點(diǎn) 例5 在△ABC中，已知頂點(diǎn)A(1，1)，B(3，6)且△ABC的面積等于3，求頂點(diǎn)的軌跡方程 解：設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,作H⊥AB于H，則動(dòng)點(diǎn)C屬于集合P=｛｜｝， ∵ ∴直線AB的方程是,即. ∴｜ＣＨ｜＝ 化簡(jiǎn)，得｜-3｜=6,即-9=0或+3=0,這就是所求頂點(diǎn)的軌跡方程. 點(diǎn)評(píng)：頂點(diǎn)的軌跡方程，就是定直線AB的距離等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 例6 已知△ABC，，第三個(gè)頂點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，求△ABC的重心的軌跡方程 解：設(shè)△ABC的重心為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，由重心坐標(biāo)公式得 代入得3 ，即為所求軌跡方程 說明：在這個(gè)問題中，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)之間有關(guān)系，寫出與之間的坐標(biāo)關(guān)系，并用的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，而后代入的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式化簡(jiǎn)整理即得所求,這種方法叫相關(guān)點(diǎn)法 四、課堂練習(xí)： 1．求點(diǎn)P到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線+5=0的距離小1的點(diǎn)的軌跡方程 解：設(shè)P為所求軌跡上任意一點(diǎn)， ∵點(diǎn)P到F的距離比它到直線+5=0的距離小1. 故點(diǎn)P到F（4，0）的距離與點(diǎn)P到直線+4=0的距離｜PD｜相等 ∴｜PF｜=｜PD｜ ∴=｜-(-4)｜ ∴ 2.過點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線,，若交軸于A，交軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程 解法一：設(shè)M為所求軌跡上任一點(diǎn)， ∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴A（2,0),B(0,2), ∵⊥且,過點(diǎn)P（2，4），∴PA⊥PB ∴ ∵=(x≠1),= ∴ =-1 即 +2-5=0(≠1) 當(dāng)=1時(shí)，A（2，0）、B（0，4）,此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），它也滿足方程+2-5=0. ∴所求點(diǎn)M的軌跡方程為+2-5=0 解法二：連結(jié)PM. 設(shè)M,則A（2,0),B(0,2) ∵⊥,∴△PAB為直角三角形 ∴｜PM｜=｜AB｜ 即 化簡(jiǎn)：+2-5=0 ∴所求點(diǎn)M的軌跡方程為+2-5=0 五、小結(jié) ：求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟 六、課后作業(yè)： 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：