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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《空間向量及其運(yùn)算》教案1 新人教A版選修2-1 教學(xué)目標(biāo)： ㈠知識(shí)目標(biāo)：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律； ㈡能力目標(biāo)：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法； ⒉會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律； ⒊能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題． ㈢德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì) 　　　　　　用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物． 教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律． 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問(wèn)題． 教學(xué)方法：討論式． 教學(xué)過(guò)程： Ⅰ.復(fù)習(xí)引入 ［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識(shí)，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： 　　?、儆糜邢蚓€段表示； 　　?、谟米帜竌、b等表示； 　　?、塾糜邢蚓€段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：． ［師］數(shù)學(xué)上所說(shuō)的向量是自由向量，也就是說(shuō)在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下． ［生］長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［師］學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算： ⒈向量的加法： ⒉向量的減法： ⒊實(shí)數(shù)與向量的積： 　　　　實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： 　　　　　(1)|λa|＝|λ||a| 　　　　　(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同向； 　　　　　　 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反向； 　　　　　　 當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0. ［師］關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢？ ［生］向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律 　　　　　加法交換律：a＋b＝b＋a 　　　　　加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 　　　　　數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本P26～P27． Ⅱ.新課講授 ［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量．那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？ ［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量． ［師］由以上知識(shí)可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示．因此我們說(shuō)空間任意兩個(gè)向量是共面的． ［師］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？ ［生］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣： =a+b， （指向被減向量）， λa 　?。蹘煟菘臻g向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律． ［生］空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律： 　　　?、偶臃ń粨Q律：a + b = b + a； 　　　?、萍臃ńY(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗(yàn)證） 　　　?、菙?shù)乘分配律：λ(a + b) =λa +λb． ［師］空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．即： 因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即： ． ⑶兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立． 因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則． 例１已知平行六面體（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量： 　　　　 說(shuō)明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—A’B’C’D’． 平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱． 解：（見(jiàn)課本P27） 說(shuō)明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣． Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P92　　練習(xí) Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移． 關(guān)于向量算式的化簡(jiǎn)，要注意解題格式、步驟和方法． Ⅴ.課后作業(yè) ⒈課本P106 1、2、　 ⒉預(yù)習(xí)課本P92～P96，預(yù)習(xí)提綱： ⑴怎樣的向量叫做共線向量？ ⑵兩個(gè)向量共線的充要條件是什么？ ⑶空間中點(diǎn)在直線上的充要條件是什么？ ⑷什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？ ⑸怎樣的向量叫做共面向量？ ⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？ ⑺空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？ 板書(shū)設(shè)計(jì)： 3.1 空間向量及其運(yùn)算（一） 一、 平面向量復(fù)習(xí) 二、空間向量 三、例1 ⒈定義及表示方法 ⒈定義及表示 ⒉加減與數(shù)乘運(yùn)算 ⒉加減與數(shù)乘向量 小結(jié) ⒊運(yùn)算律 ⒊運(yùn)算律 教學(xué)后記： 空間向量及其運(yùn)算（2） 一、課題：空間向量及其運(yùn)算（2） 二、教學(xué)目標(biāo)：1．理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 2．掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公式． 三、教學(xué)重、難點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用． 四、教學(xué)過(guò)程： （一）復(fù)習(xí)： 1．空間向量的概念及表示； （二）新課講解： 1．共線（平行）向量： 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：． 2．共線向量定理： 對(duì)空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）． 推論：如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，且平行于已知向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式①，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則①式可化為或② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時(shí)③ ①和②都叫空間直線的向量參數(shù)方程，③是線段的中點(diǎn)公式． 3．向量與平面平行： 已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量平行于平面，記作：． 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的． 4．共面向量定理： 如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使． 推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有① 上面①式叫做平面的向量表達(dá)式． （三）例題分析： 例1．已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件， 試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？ 解：由題意：， ∴， ∴，即， 所以，點(diǎn)與共面． 說(shuō)明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算． 【練習(xí)】：對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問(wèn)滿足向量式 （其中）的四點(diǎn)是否共面？ 解：∵， ∴， ∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)共面． 例2．已知，從平面外一點(diǎn)引向量 ， （1）求證：四點(diǎn)共面； （2）平面平面． 解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， ∵， ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 五、課堂練習(xí)：課本第96頁(yè)練習(xí)第1、2、3題． 六、課堂小結(jié)：1．共線向量定理和共面向量定理及其推論； 2．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式． 七、作業(yè)： 1．已知兩個(gè)非零向量不共線，如果，，， 求證：共面． 2．已知，，若，求實(shí)數(shù)的值。 3．如圖，分別為正方體的棱的中點(diǎn)， 求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）平面平面． 4．已知分別是空間四邊形邊的中點(diǎn)， （1）用向量法證明：四點(diǎn)共面； （2）用向量法證明：平面． 3.1.3．空間向量的數(shù)量積（1） 教學(xué)目標(biāo)：1．掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法； 2．掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。 教學(xué)重、難點(diǎn)：空間數(shù)量積的計(jì)算方法、幾何意義、立體幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。 教學(xué)過(guò)程： （一）復(fù)習(xí)： 空間向量基本定理及其推論； （二）新課講解： 1．空間向量的夾角及其表示： 已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有； 若，則稱與互相垂直，記作：； 2．向量的模： 設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：； 3．向量的數(shù)量積： 已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即． 已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影；可以證明的長(zhǎng)度． 4．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）． （2）． （3）． 5．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律： （1）． （2）（交換律）． （3）（分配律）． （三）例題分析： 例1．用向量方法證明：直線和平面垂直的判定定理。 已知：是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線與平面的交點(diǎn)為，且 求證：． 證明：在內(nèi)作不與重合的任一直線， 在上取非零向量，∵相交， ∴向量不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使， ∴，又∵， ∴，∴，∴， 所以，直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即得． 例2．已知空間四邊形中，，，求證：． 證明：（法一） ． （法二）選取一組基底，設(shè)， ∵，∴，即， 同理：，， ∴， ∴，∴，即． 說(shuō)明：用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量運(yùn)算取計(jì)算或證明。 例3．如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值。 解：∵， ∴ ∴， 所以，與的夾角的余弦值為． 說(shuō)明：由圖形知向量的夾角時(shí)易出錯(cuò)，如易錯(cuò)寫(xiě)成，切記！ 五．課堂練習(xí)：課本第99頁(yè)練習(xí)第1、2、3題。 六．課堂小結(jié)：空間向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)。 七．作業(yè)：課本第106頁(yè)第3、4題 補(bǔ)充： 1．已知向量，向量與的夾角都是，且， 試求：（1）；（2）；（3）． 向量的數(shù)量積（2） 一、教學(xué)目標(biāo)：①向量的數(shù)量積運(yùn)算 ②利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判定垂直、求模、求角 二、教學(xué)重點(diǎn)：①向量的數(shù)量積運(yùn)算 ②利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判定垂直、求模、求角 三、教學(xué)方法：練習(xí)法，糾錯(cuò)法，歸納法 四、教學(xué)過(guò)程： 考點(diǎn)一：向量的數(shù)量積運(yùn)算 （一）、知識(shí)要點(diǎn)： 1）定義：① 設(shè)<>=,則 （的范圍為 ） ②設(shè)，則 。 注：①不能寫(xiě)成，或 ②的結(jié)果為一個(gè)數(shù)值。 2）投影：在方向上的投影為 。 3）向量數(shù)量積運(yùn)算律： ① ② ③ 注：①?zèng)]有結(jié)合律 二）例題講練 1、下列命題：①若，則，中至少一個(gè)為②若且，則 ③④ 中正確有個(gè)數(shù)為 （ ） A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè) 2、已知中，A，B，C所對(duì)的邊為a,b,c，且a=3,b=1,C=30,則= 。 3、若，，滿足，且，則= 。 4、已知，且與的夾角為，則在上的投影為 。 考點(diǎn)二：向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用 一）、知識(shí)要點(diǎn)： ①（用于判定垂直問(wèn)題） ②（用于求模運(yùn)算問(wèn)題） ③（用于求角運(yùn)算問(wèn)題） 二）例題講練 1、已知，，且與的夾角為，，，求當(dāng)m為何值時(shí) 2、已知，，，則 。 3、已知和是非零向量，且==，求與的夾角 4、已知，，且和不共線，求使與的夾角是銳角時(shí)的取值范圍 課堂練習(xí) 1、已知和是兩個(gè)單位向量，夾角為，則（）等于（ ） A.-8 B. C. D.8 2、已知和是兩個(gè)單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（ ） A. B. C. D. 3、在中，設(shè)，，，若，則（ ） 直角三角形 銳角三角形 鈍角三角形 無(wú)法判定 4、已知和是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角。 5、已知、、是非零的單位向量，且++=，求證： 為正三角形。 3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 課題 向量的坐標(biāo) 教學(xué)目的要求 1．理解空間向量與有序數(shù)組之間的1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系 2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐標(biāo)表示 主要內(nèi)容與時(shí)間分配 1．投影與投影定理 25分鐘 2．分向量與向量的坐標(biāo) 30分鐘 3．模與方向余弦的坐標(biāo)表示 35分鐘 重點(diǎn)難點(diǎn) 1．投影定理 2．分向量 3．方向余弦的坐標(biāo)表示 教學(xué)方法和手段 啟發(fā)式教學(xué)法，使用電子教案 一、向量在軸上的投影 1．幾個(gè)概念 (1) 軸上有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時(shí)是正的，當(dāng)與軸反向時(shí)是負(fù)的，那么數(shù)叫做軸上有向線段的值，記做AB，即。設(shè)e是與軸同方向的單位向量，則 (2) 設(shè)A、B、C是u軸上任意三點(diǎn)，不論三點(diǎn)的相互位置如何，總有 (3) 兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個(gè)非零向量和b，任取空間一點(diǎn)O，作，，規(guī)定不超過(guò)的稱為向量和b的夾角，記為 (4) 空間一點(diǎn)A在軸上的投影：通過(guò)點(diǎn)A作軸的垂直平面，該平面與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)A在軸上的投影。 (5) 向量在軸上的投影：設(shè)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸上的投影分別為點(diǎn)和，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記做。 2．投影定理 性質(zhì)1：向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦： 性質(zhì)2：兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影的和，即 性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即 二、向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo) 1．向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo) 通過(guò)坐標(biāo)法，使平面上或空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 設(shè)a =是以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的向量，i、j、k分別表示 圖7－5 沿x，y，z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量，由圖7－5，并應(yīng)用向量的加法規(guī)則知： i + j+k 或 a = ax i + ayj + azk 上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。 有序數(shù)組ax、ay、az與向量a一一對(duì)應(yīng)，向量a在三條坐標(biāo)軸上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐標(biāo)，并記為 a ＝ {ax，ay，az}。 上式叫做向量a的坐標(biāo)表示式。 于是，起點(diǎn)為終點(diǎn)為的向量可以表示為 特別地，點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)O的向徑 注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。 向量a在坐標(biāo)軸上的投影是三個(gè)數(shù)ax、ay、az， 向量a在坐標(biāo)軸上的分向量是三個(gè)向量ax i 、 ayj 、 azk. 2．向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)，即， 則 (1) 加法： ◆ 減法： ◆ 乘數(shù)： ◆ 或 ◆ 平行：若a≠0時(shí)，向量相當(dāng)于，即 也相當(dāng)于向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例即 三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式 設(shè)，可以用它與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角（均大于等于0，小于等于）來(lái)表示它的方向，稱為非零向量a的方向角，見(jiàn)圖7－6，其余弦表示形式稱為方向余弦。 圖 7－6 1． 模 2． 方向余弦 由性質(zhì)1知，當(dāng)時(shí)，有 ◆ 任意向量的方向余弦有性質(zhì)： ◆ 與非零向量a同方向的單位向量為： 3． 例子：已知兩點(diǎn)M1(2,2,)、M2(1,3,0)，計(jì)算向量的模、方向余弦、方向角以及與同向的單位向量。 解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-} ，， ，， 設(shè)為與同向的單位向量，由于 即得 3.2立體幾何中的向量方法 空間距離 利用向量方法求解空間距離問(wèn)題，可以回避此類問(wèn)題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計(jì)算問(wèn)題． 例１如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離． 分析：由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩互相垂直，可以由此建立空間直角坐標(biāo)系．用向量法求解，就是求出過(guò)B且垂直于平面EFG的向量，它的長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面EFG的距離． 解：如圖，設(shè)4i，4j，2k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz． 由題設(shè)C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(xiàn)(4,2,0)，G(0,0,2)． ∴　，， 　　　　 ，， ． 設(shè)平面EFG，M為垂足，則M、G、E、F四點(diǎn)共面，由共面向量定理知，存在實(shí)數(shù)a、b、c，使得， ∴?。?2a+4b,－2b－4c,2c)． 由平面EFG，得，，于是 　　，． ∴　 整理得：，解得． ∴?。?2a+4b,－2b－4c,2c)＝． ∴　 故點(diǎn)B到平面EFG的距離為． 說(shuō)明：用向量法求點(diǎn)到平面的距離，常常不必作出垂線段，只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個(gè)向量垂直的充要條件解出垂線段對(duì)應(yīng)的向量就可以了． 例2已知正方體ABCD－的棱長(zhǎng)為1，求直線與AC的距離． 分析：設(shè)異面直線、AC的公垂線是直線l，則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段，所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解． 解：如圖，設(shè)i，j，k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系－xyz，則有 ，，，． ∴　，，． 設(shè)n是直線l方向上的單位向量，則． ∵　n，n， ∴　，解得或． 取n，則向量在直線l上的投影為 　　　n． 由兩個(gè)向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線與AC的距離為． 向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算 在《高等代數(shù)與解析幾何》課程第一章向量代數(shù)的教學(xué)中，講到幾何空間的內(nèi)積時(shí)，有一個(gè)例題（見(jiàn)[1]，p53）要求證明如下的公式： (1) 其中點(diǎn)O是二面角P-MN-Q的棱MN上的點(diǎn)，OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。，， 。為二面角P-MN-Q（見(jiàn)圖1）。 圖1 公式（1）可以利用向量的內(nèi)積來(lái)加以證明： 以Q為坐標(biāo)平面，直線MN為y軸，如圖1建立直角坐標(biāo)系。 記xOz平面與平面P的交線為射線OD，則，得 ，，。 分別沿射線OA、OB的方向上作單位向量，，則。 由計(jì)算知，的坐標(biāo)分別為 ，， 于是， 。 公式（1）在立體幾何計(jì)算二面角的平面角時(shí)是有用的。我們來(lái)介紹如下的兩個(gè)應(yīng)用。 例1．立方體ABCD-A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，E、F、G、H、I分別為A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中點(diǎn)。 求面EFG和面GHI的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。 解 由于圖2中所畫(huà)的兩平面EFG和GHI只有一個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有交線，所以我們可以將該立方體沿AB方向平移1個(gè)單位。這樣就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（見(jiàn)圖3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我們就能求出。 圖2 由已知條件，和均為等邊三角形，所以，而。因此， 圖3 ， 即 。 解得 ， 。 當(dāng)然，在建立了直角坐標(biāo)系之后，通過(guò)計(jì)算向量的外積可計(jì)算出兩平面的法向量，利用法向量同樣也可算出夾角來(lái)。 例2．計(jì)算正十二面體的兩個(gè)相鄰面的夾角的大小。 解 我們知道正十二面體的每個(gè)面都是大小相同的正五邊形，且在正十二面體的每個(gè)頂點(diǎn)上均有3個(gè)面圍繞。設(shè)P和Q是兩個(gè)相鄰的面，MN是它們的交線（如圖4），則公式（1）中的，，分別為： ， ， ， 因此它們均為正五邊形的內(nèi)角。所以 。 圖4 所以，由公式（1）知 ， 或 。 因此，，或。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夾角的大小在計(jì)算上要復(fù)雜很多。 利用例2的結(jié)果，我們可以容易地計(jì)算出單位棱長(zhǎng)正十二面體的體積V。 設(shè)單位棱長(zhǎng)正十二面體的中心為O，則該十二面體可以切割成十二個(gè)全等的正五棱錐，每個(gè)五棱錐以該多面體的一個(gè)面為底面、以O(shè)為其頂點(diǎn)。設(shè)該正五棱錐為，從而可知： 。 再設(shè)的底面積為S、高為h，設(shè)為單位邊長(zhǎng)正五邊形（即的底）的中心，A、B為該五邊形的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，H為AB的中點(diǎn)，，則 ， ， 。 仍設(shè)為正十二面體兩相鄰面的夾角，則。所以 。 但是， ， 從而 ， 或