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2019-2020年高中數學第三章導數及其應用3.1.2瞬時速度與導數教學案新人教B版選修1-1 [學習目標]　1.通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景.2.了解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數.3.掌握函數在一點處導數的定義． [知識鏈接] 函數f(x)在x＝x0處的導數與Δx趨近于0的方式有關嗎？ 答案　沒有關系．無論Δx從一側趨近于0還是從兩側趨近于0，其導數值應相同．否則f(x)在該點處導數不存在，如函數f(x)＝|x|在x＝0處導數不存在． [預習導引] 1．瞬時變化率 設函數y＝f(x)在x0附近有定義，當自變量在x＝x0附近改變Δx時，函數值相應地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當Δx趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數l，則數l稱為函數f(x)在點x0的瞬時變化率． 2．函數f(x)在x＝x0處的導數 函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是＝我們稱它為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0， 即f′(x0)＝＝. 3．函數的導數 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內每一點x處的導數都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導，這樣，對開區(qū)間(a，b)內每個值x，都對應一個確定的導數f′(x)，于是在區(qū)間(a，b)內f′(x)構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數y＝f(x)的導函數，記為f′(x)或(yx′、y′)．導函數通常簡稱為導數. 要點一　物體運動的瞬時速度 例1　一質點按規(guī)律s(t)＝at2＋1作直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若該質點在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數a的值． 解　∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a22－1 ＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt. 在t＝2s時，瞬時速度為li＝4a，即4a＝8，∴a＝2. 規(guī)律方法　求瞬時速度是利用平均速度“逐漸逼近”的方法得到的，其求解步驟如下： (1)由物體運動的位移s與時間t的函數關系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求時間t0到t0＋Δt之間的平均速度＝； (3)求li的值，即得t＝t0時的瞬時速度． 跟蹤演練1　如果質點A按照規(guī)律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為(　　) A．6B．18C．54D．81 答案　B 解析　∵s＝3t2，∴＝＝＝3Δt＋18， (3Δt＋18)＝18，∴在t＝3時的瞬時速度為18. 要點二　函數在某點處的導數 例2　求y＝x2在點x＝1處的導數． 解　Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2， ＝＝2＋Δx， ∴l(xiāng)i＝li (2＋Δx)＝2.∴y′|x＝1＝2. 規(guī)律方法　求函數y＝f(x)在點x0處的導數的步驟是： (1)求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)取極限，得導數f′(x0)＝li. 跟蹤演練2　求y＝2x2＋4x在點x＝3處的導數． 解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(232＋43) ＝2(Δx)2＋16Δx，＝2Δx＋16， ∴l(xiāng)i＝li (2Δx＋16)＝16，即y′|x＝3＝16. 要點三　導數的實際意義 例3　一條水管中流出的水量y(單位：m3) 是時間x(單位：s)的函數y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．計算2s和6s時，水管流量函數的導數，并說明它們的實際意義． 解　在2s和6s時，水管流量函數的導數為f′(2)和f′(6) 根據導數的定義，＝ ＝ ＝＝Δx＋11， 所以f′(2)＝＝ (Δx＋11)＝11， 即在2s時的水流速度為11m3/s. 同理可得在6s時的水流速度為19m3/s. 在2s與6s時，水管流量函數的導數分別為11與19.它說明在2s時附近，水流大約以11m3/s的速度流出， 在6s時附近，水流大約以19m3/s的速度流出． 規(guī)律方法　導數實質上就是瞬時變化率，它描述物體的瞬時變化，例如位移s關于時間t的導數就是運動物體的瞬時速度，氣球半徑r關于體積V的導數就是氣球的瞬時膨脹率． 跟蹤演練3　服藥后，人體血液中藥物的質量濃度y(單位：μg/mL)是時間t(單位：min)的函數y＝f(t)，假設函數y＝f(t)在t＝10和t＝100處的導數分別為f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，試解釋它們的實際意義． 解　f′(10)＝1.5表示服藥后10min時，血液中藥物的質量濃度上升的速度為1.5μg/(mLmin)． f′(100)＝－0.6表示服藥后100min時，血液中藥物的質量濃度下降的速度為0.6μg/(mLmin)． 1．如果某物體的運動方程為s＝2(1－t2) (s的單位為m，t的單位為s)，那么其在1.2s末的瞬時速度為(　　) A．－4.8m/s B．－0.88 m/s C．0.88m/s D．4.8 m/s 答案　A 解析　物體運動在1.2s末的瞬時速度即為s在1.2處的導數，利用導數的定義即可求得． 2．設函數f(x)可導，則等于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3) 答案　A 解析　＝f′(1)． 3．一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s＝3t－t2，則物體的初速度是________． 答案　3 解析　v初＝s′|t＝0＝＝ (3－Δt)＝3. 4．已知函數f(x)＝，則f′(1)＝________. 答案　－ 解析　f′(1)＝＝ ＝＝－. 利用導數定義求導數三步曲： (1)作差求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)作比求平均變化率＝； (3)取極限得導數f′(x0)＝. 簡記為一差，二比，三極限.