2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第十一章 統(tǒng)計(jì)與概率.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第十一章 統(tǒng)計(jì)與概率 總體 抽樣 分析 估計(jì) 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣 樣本分布 樣本特征數(shù) 相關(guān)系數(shù) 總體分布 總體特征數(shù) 相關(guān)系數(shù) 統(tǒng)計(jì) 【知識(shí)圖解】 概 率 等可能事件 必然事件 隨機(jī)事件 不可能事件 概率分布 隨機(jī)變量 隨機(jī)現(xiàn)象 概 率 獨(dú)立性 數(shù)字特征 條件概率 事件獨(dú)立性 數(shù)學(xué)期望 方 差 應(yīng) 用 古典概型 幾何概型 概率 互斥、對(duì)立事件 【方法點(diǎn)撥】 1、 準(zhǔn)確理解公式和區(qū)分各種不同的概念 正確使用概率的加法公式與乘法公式、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式.注意事件的獨(dú)立性與互斥性是兩個(gè)不同的概念，古典概型與幾何概型都是等可能事件，對(duì)立事件一定是互斥事件，反之卻未必成立. 2、 掌握抽象的方法 抽象分為簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣.系統(tǒng)抽樣適用于總體較多情況，分層抽樣適用于總體由幾個(gè)差異明顯的部分組成的情況. 3、 學(xué)會(huì)利用樣本和樣本的特征數(shù)去估計(jì)總體 會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線(xiàn)圖、莖葉圖，并體會(huì)它們各自特點(diǎn)，特別注意頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率/組距；會(huì)計(jì)算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)、方差（標(biāo)準(zhǔn)差），利用樣本的平均數(shù)可以估計(jì)總體的平均數(shù)，利用樣本的方差估計(jì)總體的穩(wěn)定程度. 4、 關(guān)于線(xiàn)性回歸方程的學(xué)習(xí) 在線(xiàn)性相關(guān)程度進(jìn)行校驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立線(xiàn)性回歸分析的基本算法步驟.學(xué)會(huì)利用線(xiàn)性回歸的方法和最小二乘法研究回歸現(xiàn)象，得到的線(xiàn)性回歸方程（不要求記憶系數(shù)公式）可用于預(yù)測(cè)和估計(jì)，為決策提供依據(jù). 第1課 抽樣方法 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 抽樣方法分為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣. 2 .系統(tǒng)抽樣適用于總體個(gè)數(shù)較多情況，分層抽樣適用于總體由幾個(gè)差異明顯的部分組成的情況. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．為了了解全校900名高一學(xué)生的身高情況，從中抽取90名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，下列說(shuō)法正確的是 ④ . ①總體是900 ②個(gè)體是每個(gè)學(xué)生 ③樣本是90名學(xué)生 ④樣本容量是90 2．對(duì)總數(shù)為N的一批零件抽取一個(gè)容量為30的樣本，若每個(gè)零件被抽到的概率為0.25，則N的值為 120 . 3．高三年級(jí)有12個(gè)班，每班50人按1—50排學(xué)號(hào)，為了交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，要求每班學(xué)號(hào)為18的同學(xué)留下進(jìn)行交流，這里運(yùn)用的是 系統(tǒng) 抽樣法. 4．某校有學(xué)生xx人，其中高三學(xué)生500人．為了解學(xué)生身體情況，采用按年級(jí)分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個(gè)200人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為 50 5.將參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的1000名學(xué)生編號(hào)如下：0001，0002，0003，…，1000，打算從中抽取一個(gè)容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個(gè)部分，如果第一部分編號(hào)為0001，0002，0003，…，0020，第一部分隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為0015，則抽取的第40個(gè)號(hào)碼為 0795 ． 【范例解析】 例1：某車(chē)間工人加工一種軸100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取10件軸在同一條件下測(cè)量，如何采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本？ 分析 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法. 解法1：（抽簽法）將100件軸編號(hào)為1，2，…，100，并做好大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫(xiě)上這100個(gè)數(shù)，將這些號(hào)簽放在一起，進(jìn)行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個(gè)號(hào)簽，然后測(cè)量這個(gè)10個(gè)號(hào)簽對(duì)應(yīng)的軸的直徑. 解法2：（隨機(jī)數(shù)表法）將100件軸編號(hào)為00，01，…99，在隨機(jī)數(shù)表中選定一個(gè)起始位置，如取第21行第1個(gè)數(shù)開(kāi)始，選取10個(gè)為68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，這10件即為所要抽取的樣本. 點(diǎn)評(píng) 從以上兩種方法可以看出，當(dāng)總體個(gè)數(shù)較少時(shí)用兩種方法都可以，當(dāng)樣本總數(shù)較多時(shí)，方法2優(yōu)于方法1. 例2、某校高中三年級(jí)的295名學(xué)生已經(jīng)編號(hào)為1，2，……，295，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要按1：5的比例抽取一個(gè)樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽取，并寫(xiě)出過(guò)程. 分析 按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，關(guān)鍵是確定第1段的編號(hào). 解：按照1：5的比例，應(yīng)該抽取的樣本容量為2955=59，我們把259名同學(xué)分成59組，每組5人，第一組是編號(hào)為1～5的5名學(xué)生，第2組是編號(hào)為6～10的5名學(xué)生，依次下去，59組是編號(hào)為291～295的5名學(xué)生.采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從第一組5名學(xué)生中抽出一名學(xué)生，不妨設(shè)編號(hào)為k(1≤k≤5)，那么抽取的學(xué)生編號(hào)為k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59個(gè)個(gè)體作為樣本，如當(dāng)k=3時(shí)的樣本編號(hào)為3，8，13，……，288，293. 點(diǎn)評(píng) 系統(tǒng)抽樣可按事先規(guī)定的規(guī)則抽取樣本. 本題采用的規(guī)則是第一組隨機(jī)抽取的學(xué)生編號(hào)為k，那么第m組抽取的學(xué)生編號(hào)為k+5(m-1). 例3：一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬(wàn)人，其中人口比例為3：2：5：2：3，從3萬(wàn)人中抽取一個(gè)300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問(wèn)應(yīng)采取什么樣的方法？并寫(xiě)出具體過(guò)程. 分析 采用分層抽樣的方法. 解：因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層抽樣的方法，具體過(guò)程如下： （1）將3萬(wàn)人分為5層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層. （2）按照樣本容量的比例隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本. 3003/15=60（人），3002/15=40（人），3005/15=100（人），3002/15=40（人），3003/15=60（人），因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60 人. （3）將300人組到一起，即得到一個(gè)樣本. 點(diǎn)評(píng) 分層抽樣在日常生活中應(yīng)用廣泛，其抽取樣本的步驟尤為重要，應(yīng)牢記按照相應(yīng)的比例去抽取. 【反饋演練】 1. 一個(gè)總體中共有200個(gè)個(gè)體，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則某一特定個(gè)體被抽到的可能性是 0.1 . 2．為了了解參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的xx名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽取100名運(yùn)動(dòng)員；就這個(gè)問(wèn)題，下列說(shuō)法中正確的有 2 個(gè). ①xx名運(yùn)動(dòng)員是總體；②每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體；③所抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是一個(gè)樣本； ④樣本容量為100；⑤這個(gè)抽樣方法可采用按年齡進(jìn)行分層抽樣；⑥每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的概率相等. 3．對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，下列說(shuō)法中正確的命題為 ①②③④ . ①它要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限，以便對(duì)其中各個(gè)個(gè)體被抽取的概率進(jìn)行分析；②它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，以便在抽取實(shí)踐中進(jìn)行操作；③它是一種不放回抽樣；④它是一種等概率抽樣，不僅每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)，各個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，而且在整個(gè)抽樣過(guò)程中，各個(gè)個(gè)體被抽取的概率也相等，從而保證了這種方法抽樣的公平性. 4．某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150 個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)．公司為了調(diào)查銷(xiāo)售的情況，需從這600個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷(xiāo)售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②．則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 . 5.下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是 ③ . ①.從標(biāo)有1～15號(hào)的15個(gè)球中，任選三個(gè)作樣本，按從小號(hào)到大號(hào)排序，隨機(jī)選起點(diǎn)，以后，（超過(guò)15則從1再數(shù)起）號(hào)入樣； ②.工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車(chē)間前，檢驗(yàn)人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)； ③.搞某一市場(chǎng)調(diào)查，規(guī)定在商場(chǎng)門(mén)口隨機(jī)抽一個(gè)人進(jìn)行詢(xún)問(wèn)調(diào)查，直到調(diào)查到事先規(guī)定的人數(shù)為止； ④.電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知每排（每排人數(shù)相同）座位號(hào)為14的觀眾留下座談． 6．為了解初一學(xué)生的身體發(fā)育情況，打算在初一年級(jí)10個(gè)班的某兩個(gè)班按男女生比例抽取樣本，正確的 抽樣方法是 ③ . ①隨機(jī)抽樣 ②分層抽樣 ③先用抽簽法，再用分層抽樣 ④先用分層抽樣，再用隨機(jī)數(shù)表法 7．寫(xiě)出下列各題的抽樣過(guò)程 (1)請(qǐng)從擁有500個(gè)分?jǐn)?shù)的總體中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為30的樣本. (2)某車(chē)間有189名職工，現(xiàn)在要按1：21的比例選派質(zhì)量檢查員，采用系統(tǒng)抽樣的方式進(jìn)行. (3)一個(gè)電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目喜愛(ài)的程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為1xx人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下： 很喜愛(ài) 喜愛(ài) 一般 不喜愛(ài) 2435 4567 3926 1072 打算從中抽取60人進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，如何抽??？ 解：(1)①將總體的500個(gè)分?jǐn)?shù)從001開(kāi)始編號(hào)，一直到500號(hào)； ②從隨機(jī)數(shù)表第1頁(yè)第0行第2至第4列的758號(hào)開(kāi)始使用該表； ③抄錄入樣號(hào)碼如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402 ④按以上編號(hào)從總體至將相應(yīng)的分?jǐn)?shù)提取出來(lái)組成樣本，抽樣完畢 (2)采取系統(tǒng)抽樣 18921＝9，所以將189人分成9組，每組21人，在每一組中隨機(jī)抽取1人，這9人組成樣本 (3)采取分層抽樣 總?cè)藬?shù)為1xx人，1xx60＝200， 所以從很喜愛(ài)的人中剔除145人，再抽取11人；從喜愛(ài)的人中剔除167人，再抽取22人；從一般喜愛(ài) 的人中剔除126人，再抽取19人；從不喜愛(ài)的人中剔除72人，再抽取5人 第2課 總體分布的估計(jì) 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．掌握頻率分布直方圖、折線(xiàn)圖表與莖葉圖的做法，體會(huì)它們各自的特點(diǎn). 2．會(huì)用頻率分布直方圖、折線(xiàn)圖表與莖葉圖對(duì)總體分布規(guī)律進(jìn)行估計(jì). 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為60，0.25，則n的值是 240 2．用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是 ③ ①總體容量越大，估計(jì)越精確 ②總體容量越小，估計(jì)越精確 ③樣本容量越大，估計(jì)越精確 ④樣本容量越小，估計(jì)越精確 10 11 12 13 78 02223666778 0012234466788 0234 3． 已知某工廠工人加工的零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如右圖所示 （以零件個(gè)數(shù)的前兩位為莖，后一位為葉），那么工人生產(chǎn) 零件的平均個(gè)數(shù)及生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)超過(guò)130的比例分別是 120.5與10％ . 4．容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表： 組號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 頻數(shù) 10 13 x 14 15 13 12 9 頻率 0.4 0.2 0.1 0 40 50 60 70 80 時(shí)速 第三組的頻數(shù)和頻率分別是 14和0.14 . 5． 200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速頻率 分布直方圖如圖所示，則時(shí)速在的汽 車(chē)大約有 60 輛. 【范例解析】 例1．如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問(wèn)題： （1）這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？ （2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率（分及以上為及格）. 解：（1）頻率為：，頻數(shù)： （2）. 例2．在參加世界杯足球賽的32支球隊(duì)中，隨機(jī)抽取20名隊(duì)員，調(diào)查其年齡為25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28.填寫(xiě)下面的頻率分布表，據(jù)此估計(jì)全體隊(duì)員在哪個(gè)年齡段的人數(shù)最多？占總數(shù)的百分之幾？并畫(huà)出頻率分布直方圖． 解： (1) 分組 頻數(shù) 頻率 ［20.5,22.5) 2 0.1 ［22.5,24.5) 3 0.15 ［24.5,26.5) 8 0.4 ［26.5,28.5) 4 0.2 ［28.5,30.5］ 3 0.15 合計(jì) 20 1 年齡 頻率 組距 20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 0.05 0.075 0.1 0.2 (2) 分組 頻數(shù) 頻率 ［20.5,22.5) ［22.5,24.5 ［24.5,26.5) ［26.5,28.5) ［28.5,30.5］ 合計(jì) （3）估計(jì)全體隊(duì)員在24.5～26.5處人數(shù)最多，占總數(shù)的百分之四十. 【反饋演練】 1．對(duì)于樣本頻率直方圖與總體密度曲線(xiàn)的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是 ④ ①頻率分布直方圖與總體密度曲線(xiàn)無(wú)關(guān) ②頻率分布直方圖就是總體密度曲線(xiàn) ③樣本容量很大的頻率分布直方圖就是總體密度曲線(xiàn) ④如果樣本容量無(wú)限增大,分組的組距無(wú)限的減小,那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于總體密度曲線(xiàn) 2．在某餐廳內(nèi)抽取100人,其中有30人在15歲以下,35人在16至25歲,25人在26至45歲,10人在46歲 以上,則數(shù) 0．35 是16到25歲人員占總體分布的 ② ① 概率 ②頻率 ③ 累計(jì)頻率 ④ 頻數(shù) 3．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是 15 ,17 , 14 , 10 , 15 , 17 ,17 , 16, 14 , 12． 設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c，則a, b, c的大小關(guān)系為 4.已知樣本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12則頻率為0.3的范圍是 ( 2 ) 5.已知10個(gè)數(shù)據(jù)如下：63，65，67，69，66，64，66, 64, 65，68.根據(jù)這些數(shù)據(jù)制作頻率直方圖，其 中[64.5, 66.5)這組所對(duì)應(yīng)矩形的高為 0.2 6．某中學(xué)高一年級(jí)有400人，高二年級(jí)有320人，高三有280人，以每人被抽取的頻率為0.2，向該 中學(xué)抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，則n= 200 7. 一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后,組距與頻數(shù)如下: ,2; , 3 ; , 4 ; , 5 ; , 4 ; , 2 .則樣本在區(qū)間 上的頻率為_(kāi)_ 0.7 ___ 0.5 人數(shù)(人) 時(shí)間(小時(shí)) 20 10 5 0 1.0 1.5 2.0 15 (第9題) 8．觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在的頻率為 0.3 (第8題) 2400 2700 3000 3300 3600 3900 體重 0 0 001 頻率/組距 9．某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用右上面的條形圖表示． 根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為 0.9小時(shí) 10.從甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取15個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，相關(guān)指標(biāo)的檢驗(yàn)結(jié)果為： 甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512； 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514. 8 87632 87642200 43 50 51 52 53 7 024668 013468 02 (1).畫(huà)出上述數(shù)據(jù)莖葉圖； (2).試比較分析甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)零件的情況. 解（1）用指標(biāo)的兩位數(shù)作莖，然后作莖葉圖： （2）從圖中可以看出，甲機(jī)器生產(chǎn)零件的指標(biāo) 分布大致對(duì)稱(chēng)，指標(biāo)平均在520左右，中位數(shù) 和眾數(shù)均為522；乙機(jī)器生產(chǎn)零件的指標(biāo)分布為 大致對(duì)稱(chēng)，指標(biāo)平均在520左右，中位數(shù)和眾數(shù) 分別為520和516，總的來(lái)看，甲機(jī)器生產(chǎn)的零 件的指標(biāo)略大些.. 點(diǎn)評(píng) 注意作莖葉圖時(shí)，莖可以放兩位數(shù). 第3課 總體特征數(shù)的估計(jì) 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義并且會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，使學(xué)生掌握通過(guò)合理抽樣對(duì)總體穩(wěn)定性作出科學(xué)的估計(jì)的思想. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為 22 . 2．若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X, N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y,則這M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 3．?dāng)?shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的方差為σ2，則數(shù)據(jù)2a1，2a2，2a3，…，2an的方差為 4σ2 . 4．已知同一總體的兩個(gè)樣本，甲的樣本方差為，乙的樣本方差為，則下列說(shuō)法正確的是 ④ . ①甲的樣本容量小 ②乙的樣本容量小 ③甲的波動(dòng)較小 ④乙的波動(dòng)較小 【范例解析】 例1.下面是一個(gè)班在一次測(cè)驗(yàn)時(shí)的成績(jī)，分別計(jì)算男生和女生的成績(jī)平均值、中位數(shù)以及眾數(shù).試分析一下該班級(jí)學(xué)習(xí)情況. 男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94； 女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97. 解：17名男生成績(jī)的平均值是72.9分，中位數(shù)是73分，眾數(shù)為55和68. 20名女生成績(jī)的平均值是80.3分，中位數(shù)是82分，眾數(shù)為73，80和82. 從上述情況來(lái)看，這個(gè)班女生成績(jī)明顯好于男生成績(jī). 例2.為了比較甲，乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)，在相同的條件下對(duì)他們進(jìn)行了10次測(cè)驗(yàn)，測(cè)得他們的環(huán)數(shù)如下： 環(huán)數(shù) 10 9 8 7 6 5 甲（次） 3 2 1 2 0 2 乙（次） 2 2 2 2 2 0 試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷他們誰(shuí)更優(yōu)秀. 解：=8,=8, =3.4,=2, 所以乙更優(yōu)秀 例3．某化肥廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間包裝肥料，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品， 稱(chēng)其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下： 甲：102，101，99，98，103，98，99； 乙：110，115，90，85，75，115，110． （1）這種抽樣方法是哪一種方法？ （2）計(jì)算甲、乙兩個(gè)車(chē)間產(chǎn)品的平均數(shù)與方差，并說(shuō)明哪個(gè)車(chē)間產(chǎn)品較穩(wěn)定？ 解：（1）采用的方法是：系統(tǒng)抽樣； （2）； ； ； ∴ 故甲車(chē)間產(chǎn)品比較穩(wěn)定． 點(diǎn)評(píng) 以樣本估計(jì)總體，在生產(chǎn)生活經(jīng)常用到，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，從而更好地指導(dǎo)實(shí)踐. 【反饋演練】 1. 下列說(shuō)法中，正確的是 ④ . ① 頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積不等于相應(yīng)各組的頻率 ②一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是這組數(shù)據(jù)的方差的平方 ③數(shù)據(jù)2，3，4，5的方差是數(shù)據(jù)4，6，8，10的方差的一半 ④一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大 2．從甲、乙兩班分別任意抽出10名學(xué)生進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)驗(yàn)，其測(cè)驗(yàn)成績(jī)的方差分別為S12= 13.2，S22=26．26，則 ① . ①甲班10名學(xué)生的成績(jī)比乙班10名學(xué)生的成績(jī)整齊 ②乙班10名學(xué)生的成績(jī)比甲班10名學(xué)生的成績(jī)整齊 ③甲、乙兩班10名學(xué)生的成績(jī)一樣整齊 ④不能比較甲、乙兩班10名學(xué)生成績(jī)的整齊程度 3 ．已知樣本為101 ,98, 102, 100, 99，則樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 4 .某班45人，一次數(shù)學(xué)考試，班級(jí)均分72分.已知不及格人數(shù)為5人，他們的平均成績(jī)是52分，則及格學(xué)生的平均分為 74 .5分 . 5．高三年級(jí)1000名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)其中測(cè)試.高三年級(jí)組隨機(jī)調(diào)閱了100名學(xué)生的試卷（滿(mǎn)分為150分），成績(jī)記錄如下： 成績(jī)（分） 3 4 5 6 7 8 9 10 人數(shù) 6 8 10 15 15 35 8 3 求樣本平均數(shù)和樣本方差． 解：=6.77 =3.1171 6．兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑為10的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)量質(zhì)檢員從兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品中各抽取4件進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下： 機(jī)床甲 10 9.8 10 10.2 機(jī)床乙 10.1 10 9.9 10 如果你是質(zhì)量檢測(cè)員，在收集到上述數(shù)據(jù)后，你將通過(guò)怎樣的運(yùn)算來(lái)判斷哪臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量更符合要求. 解：先考慮各自的平均數(shù)：設(shè)機(jī)床甲的平均數(shù)、方差分別為；機(jī)床乙的平均數(shù)、方差分別為. ， ∴兩者平均數(shù)相同，再考慮各自的方差： ∵，∴機(jī)床乙的零件質(zhì)量更符合要求. 第4課 案例分析 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系. 2.知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式建立線(xiàn)性回歸方程. 3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用，了解回歸與分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)：可求出與的線(xiàn)性回歸方程是 x -1 0 1 2 y -1 0 1 1 2．線(xiàn)性回歸方程表示的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)的一個(gè)定點(diǎn)是 3．設(shè)有一個(gè)直線(xiàn)回歸方程為 ,則變量x 增加一個(gè)單位時(shí) ③ . ① y 平均增加 1.5 個(gè)單位 ② y 平均增加 2 個(gè)單位 ③ y 平均減少 1.5 個(gè)單位 ④ y 平均減少 2 個(gè)單位 4．對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是 ③ . ①都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系 ②都可以用一條直線(xiàn)近似地表示兩者的關(guān)系 ③都可以作出散點(diǎn)圖 ④都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系 5．對(duì)于兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是 ③ . ①|(zhì)r|越大，相關(guān)程度越大 ②|r|，|r|越大，相關(guān)程度越小，|r|越小，相關(guān)程度越大 ③|r|1且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小 【范例解析】 例1．在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)． （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)22的列聯(lián)表；（2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系． 解：（1）22的列聯(lián)表 性別 休閑方式 看電視 運(yùn)動(dòng) 總計(jì) 女 43 27 70 男 21 33 54 總計(jì) 64 60 124 （2）假設(shè)“休閑方式與性別無(wú)關(guān)” 計(jì)算 因?yàn)椋杂欣碛烧J(rèn)為假設(shè)“休閑方式與性別無(wú)關(guān)”是不合理的， 即有97.5%的把握認(rèn)為“休閑方式與性別有關(guān)”. 點(diǎn)評(píng) 對(duì)兩個(gè)變量相關(guān)性的研究，可先計(jì)算的值，并根據(jù)臨界表進(jìn)行估計(jì)與判斷. 例3. 一個(gè)車(chē)間為了為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)： 零件數(shù)x (個(gè)) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時(shí)間y(分) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1) y與x是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系？ (2) 如果y與x具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線(xiàn)方程； (3) 據(jù)此估計(jì)加工200個(gè)零件所用時(shí)間為多少？ 解：（1）查表可得0.05和n-2相關(guān)系數(shù)臨界， 由知y與x具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系. （2）回歸直線(xiàn)方程為 （3）估計(jì)加工200個(gè)零件所用時(shí)間189分. 【反饋演練】 1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是 ④ . ①角度與它的余弦值 ②正方形的邊長(zhǎng)與面積 ③正n邊形的邊數(shù)和頂點(diǎn)角度之和 ④人的年齡與身高 2．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線(xiàn)性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立的做10次和15次試驗(yàn)，并且 利用線(xiàn)性回歸方法，求得回歸直線(xiàn)分布為和，已知在兩人的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀察數(shù)據(jù)的平均值 恰好相等都為s，對(duì)變量y的觀察數(shù)據(jù)的平均值恰好相等都為t,那么下列說(shuō)法正確的是 ① . ①直線(xiàn)和有交點(diǎn)（s,t） ②直線(xiàn)和相交，但是交點(diǎn)未必是（s,t） ③ 直線(xiàn)和平行 ④ 直線(xiàn)和必定重合 3．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 ④ . ①正方體的棱長(zhǎng)和體積 ②單位圓中角的度數(shù)和所對(duì)弧長(zhǎng) ③單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量 ④日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量 4．對(duì)于回歸方程y=4.75x+257,當(dāng)x=28時(shí),y的估計(jì)值為 390 . 5．某高校“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表： 性別 專(zhuān)業(yè) 非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè) 統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè) 男 13 10 女 7 20 為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù) 表中的數(shù)據(jù)，得到，因?yàn)?，所以判定主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為 5% . 6.為了研究失重情況下男女飛行員暈飛船的情況，抽取了89名被試者，他們的暈船情況匯總?cè)缦卤恚鶕?jù)獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)的方法， 不能 認(rèn)為在失重情況下男性比女性更容易暈船（填能或不能） 暈機(jī) 不暈機(jī) 合計(jì) 男性 23 32 55 女性 9 25 34 合計(jì) 32 57 89 7.打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問(wèn)：每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？ 患心臟病 未患心臟病 合計(jì) 每一晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1355 1379 合計(jì) 54 1579 1633 解：提出假設(shè)H0：打鼾與患心臟病無(wú)關(guān)，根據(jù)數(shù)據(jù)得 當(dāng)H0成立時(shí)，的概率為1%，而這時(shí) 所以我們有99%的把握認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān). 第5課 古典概型 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及概率與頻率的區(qū)別. 2.正確理解古典概型的兩大特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. 某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 擊中靶心次數(shù)m 8 19 44 92 178 455 擊中靶心的頻率 （1）填寫(xiě)表中擊中靶心的頻率； （2）這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？ 分析：事件A出現(xiàn)的頻數(shù)nA與試驗(yàn)次數(shù)n的比值即為事件A的頻率，當(dāng)事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上時(shí)，這個(gè)常數(shù)即為事件A的概率. 解：（1）表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91. （2）由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.89，所以這個(gè)射手擊一次，擊中靶心的概率約是0.89. 點(diǎn)評(píng) 概率實(shí)際上是頻率的科學(xué)抽象，求某事件的概率可以通過(guò)求該事件的頻率而得之. 2．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是 隨機(jī) 事件 （必然、隨機(jī)、不可能） 3．下列說(shuō)法正確的是 ③ . ①任一事件的概率總在（0.1）內(nèi) ②不可能事件的概率不一定為0 ③必然事件的概率一定為1 ④以上均不對(duì) 4.一枚硬幣連擲3次，只有一次出現(xiàn)正面的概率是 5. 從分別寫(xiě)有A、B、C、D、E的5張卡片中，任取2張，這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率為 【范例解析】 例1. 連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面. （1）寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件； （2）求這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)； （3）“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個(gè)基本事件? 解：（1）這個(gè)試驗(yàn)的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}； （2）基本事件的總數(shù)是8. （3）“恰有兩枚正面向上”包含以下3個(gè)基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）. 點(diǎn)評(píng) 一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果都是隨機(jī)事件，這類(lèi)隨機(jī)事件稱(chēng)為基本事件. 例2. 拋擲兩顆骰子，求： （1）點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)的概率； （2）出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率. 解：作圖，從下圖中容易看出基本事件空間與點(diǎn)集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元 素一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中點(diǎn)的總數(shù)是66=36（個(gè)），所以基本事件總數(shù)n=36. （1）記“點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)”的事件為A，從圖中可看到事件A包含的基本事件數(shù)共6個(gè)：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=. （2）記“出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)”的事件為B，則從圖中可看到事件B包含的基本事件數(shù)只有1個(gè)：（4，4）.所以P（B）=. 點(diǎn)評(píng) 在古典概型下求P（A），關(guān)鍵要找出A所包含的基本事件個(gè)數(shù)然后套用公式 變題 .在一次口試中，考生要從5道題中隨機(jī)抽取3道進(jìn)行回答，答對(duì)其中2道題為優(yōu)秀，答對(duì)其中1道題為及格，某考生能答對(duì)5道題中的2道題，試求： （1）他獲得優(yōu)秀的概率為多少； （2）他獲得及格及及格以上的概率為多少； 點(diǎn)撥：這是一道古典概率問(wèn)題，須用枚舉法列出基本事件數(shù). 解：設(shè)這5道題的題號(hào)分別為1,2，3，4，5，則從這5道題中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共10個(gè)基本事件． （1）記“獲得優(yōu)秀”為事件A，則隨機(jī)事件A中包含的基本事件個(gè)數(shù)為3，故． （2）記“獲得及格及及格以上”為事件B，則隨機(jī)事件B中包含的基本事件個(gè)數(shù)為9，故． 點(diǎn)評(píng)：使用枚舉法要注意排列的方法，做到不漏不重. 例3. 從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩 次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率. 解：每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè)，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品， 右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則 A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）] 事件A由4個(gè)基本事件組成，因而，P（A）== 【反饋演練】 1.某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次環(huán)中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未中靶，試計(jì)算此人中靶的概率，假設(shè)此人射擊1次，試問(wèn)中靶的概率約為 0.9 中10環(huán)的概率約為 0.2 . 分析：中靶的頻數(shù)為9，試驗(yàn)次數(shù)為10，所以中靶的頻率為=0.9，所以中靶的概率約為0.9． 解：此人中靶的概率約為0.9；此人射擊1次，中靶的概率為0.9；中10環(huán)的概率約為0.2． 2.一棟樓房有4個(gè)單元，甲乙兩人被分配住進(jìn)該樓，則他們同住一單元的概率是 0.25 . 3. 在第1,3,6,8,16路公共汽車(chē)都要?？康囊粋€(gè)站（假定這個(gè)站只能停靠一輛汽車(chē)），有一位乘客等候第6 路或第16路汽車(chē).假定當(dāng)時(shí)各路汽車(chē)首先到站的可能性相等，則首先到站正好是這位乘客所需乘的汽車(chē)的 概率等于 4.把三枚硬幣一起拋出，出現(xiàn)2枚正面向上，一枚反面向上的概率是 5.有5根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為1,3 ,5 ,7 ,9，從中任取三根，能搭成三角形的概率是 6. 從1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字， （1）2個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率為 （2）2個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為 7. 某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的概率為 8. A、B、C、D、E排成一排，A在B的右邊（A、B可以不相鄰）的概率是 9．在大小相同的5個(gè)球中，2個(gè)是紅球，3個(gè)是白球，若從中任取2個(gè)，則所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是 10. 用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給下圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，求： （1）3個(gè)矩形顏色都相同的概率；（2）3個(gè)矩形顏色都不同的概率. 解：所有可能的基本事件共有27個(gè)，如圖所示. （1）記“3個(gè)矩形都涂同一顏色”為事件A，由圖知，事件A的基本事件有13=3個(gè)，故P（A）=. （2）記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件B，由圖可知，事件B的基本事件有23=6個(gè)，故P（B）=. 11. 甲、乙兩個(gè)均勻的正方體玩具，各個(gè)面上分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，將這兩個(gè)玩具同時(shí) 擲一次. （1）若甲上的數(shù)字為十位數(shù)，乙上的數(shù)字為個(gè)位數(shù)，問(wèn)可以組成多少個(gè)不同的數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字均相同的數(shù)字的概率是多少? （2）兩個(gè)玩具的數(shù)字之和共有多少種不同結(jié)果?其中數(shù)字之和為12的有多少種情況?數(shù)字之和為6的共有多少種情況?分別計(jì)算這兩種情況的概率. 解：（1）甲有6種不同的結(jié)果，乙也有6種不同的結(jié)果，故基本事件總數(shù)為66=36個(gè).其中十位數(shù)字共有6種不同的結(jié)果，若十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，十位數(shù)字確定后，個(gè)位數(shù)字也即確定.故共有61=6種不同的結(jié)果，即概率為. （2）兩個(gè)玩具的數(shù)字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11種不同結(jié)果.從中可以看出，出現(xiàn)12的只有一種情況，概率為.出現(xiàn)數(shù)字之和為6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五種情況，所以其概率為. 12.現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品： （1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率； （2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率． 解：（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有 101010=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有888=83種， 因此，P(A)= =0.512． （2）可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為1098=720種．設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為876=336, 所以P(B)= ． 第6課幾何概型 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．了解幾何概型的基本特點(diǎn). 2．會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率的計(jì)算. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在500ml的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率是 0.004 2. 取一根長(zhǎng)度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 m的概率是 3. 在1萬(wàn) km2的海域中有40 km2的大陸架貯藏著石油，假如在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率 是 (第5題) 4. 如下圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為3 cm的正方形內(nèi)部畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的正方形，向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率是 . (第4題) 5. 如下圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線(xiàn)OT落在60的終邊上，任作一條射線(xiàn)OA，則射線(xiàn)落在∠x(chóng)OT內(nèi)的概率是 . 【范例解析】 例1. 在等腰Rt△ABC中， (1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率. （2）過(guò)直角頂點(diǎn)C在內(nèi)作一條射線(xiàn)CM，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M，求AM下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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