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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計2.1抽樣方法2.1.3分層抽樣互動課堂學(xué)案蘇教版必修 疏導(dǎo)引導(dǎo) 1.分層抽樣 （1）分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾個部分組成的情況,即層與層之間有明顯區(qū)別,而層內(nèi)個體間差異較小,每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體在總體上所占比例抽取.分層抽樣要求對總體的內(nèi)容有一定的了解,明確分層的界限和數(shù)目,只要分層恰當,一般說來抽樣結(jié)果就比簡單隨機抽樣更能反映總體情況. （2）分層抽樣和簡單隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣的聯(lián)系：將總體分成幾層,分層抽取時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣. （3）分層抽樣的步驟 ①將總體按一定的標準(分層的標準由題意來確定)分層； ②計算各層的個體數(shù)與總體的個體的比； ③按各層中個體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量； ④在每一層進行抽樣,抽樣時根據(jù)各層中個體的個數(shù)選擇適當?shù)某闃臃椒?個體數(shù)較少時用簡單隨機抽樣,當個體數(shù)較多時可采用系統(tǒng)抽樣. （4）分層抽樣的優(yōu)點是,使樣本具有較強的代表性,而且在各層抽樣時,又可靈活地選用不同的抽樣法.因此,分層抽樣應(yīng)用也比較廣泛. （5）分層抽樣的公平性 分層抽樣中,由于各部分抽取的個體數(shù)與這一部分個體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個體數(shù)的比,所以在分層抽樣時,每一個個體被抽到的幾率都是相等的. 案例1 一個單位有職工160人,其中有業(yè)務(wù)人員112人,管理人員16人,后勤服務(wù)人員32人,為了了解職工的某種情況,要從中抽取一個容量為20的樣本,用分層抽樣的方法抽取樣本,并寫出過程. 【探究】分層抽樣中各層抽取的個體數(shù)依各層個體數(shù)之比來分配,確定各層抽取的個體數(shù)之后,可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個體. 解法一：三部分所含個體數(shù)之比為112∶16∶32=7∶1∶2,設(shè)三部分抽個體數(shù)為7x,x,2x,則由7x+x+2x=20得x=2.故業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員抽取的個體數(shù)分別為14,2和4. 對112名業(yè)務(wù)人員按系統(tǒng)抽樣分成14個部分,其中每個部分包括8個個體,對每個部分利用簡單隨機抽樣抽取個體.若將160名人員依次編號為1,2,3,…,160.那么在1—112名業(yè)務(wù)人員中第一部分的個體編號為1—8.從中隨機取一個號碼,如它是4號,那么可以從第4號起,按系統(tǒng)抽樣法每隔8個抽取1個號碼,這樣得到112名業(yè)務(wù)人員被抽出的14個號碼依次為4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108. 同樣可抽出的管理人員和服務(wù)人員的號碼分別為 116,124和132,140,148,156. 將以上各層抽出的個體合并起來,就得到容量為20的樣本. 解法二：由16020=8,所以可在各層中人員按8∶1的比例抽取,又因為1608=2,1128=14,328=4,所以管理人員2人,后勤服務(wù)人員4人,業(yè)務(wù)人員14人.以下同方法一. 規(guī)律總結(jié) 弄清三種抽樣方法的實質(zhì),是靈活選用抽樣方法的前提和基礎(chǔ).本題抓住了“分層抽樣中各層抽取個體數(shù)依各層個體數(shù)之比來分配”這一分層抽樣的特點,首先確定了各層應(yīng)該抽取的個體數(shù),之后可采用系統(tǒng)抽樣或簡單隨機抽樣來完成抽樣過程.解決此例的關(guān)鍵在于對概念的正確理解以及在每一次抽樣的步驟中所采用的抽樣方法,應(yīng)注意語言敘述的完整性. 2.三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別 簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣,關(guān)系密切,對抽取的樣本來說,可謂異曲同工.注意對三者進行比較,加深對三者的理解,并在抽樣實踐中正確地對它們進行選擇.對三種抽樣方法比較如下： 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機抽樣 （1）抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等（2）均屬于不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體中的個體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層,分層進行抽取 各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 抓住三種抽樣方法的本質(zhì)特征是正確應(yīng)用這三種抽樣方法的前提. 案例2 某單位有工程師6人,技術(shù)員12人,技工18人,要從這些人中抽取一個容量為n的樣本；如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取,卻不用剔除個體；如果樣本容量增加1個,則在采用系統(tǒng)抽樣時,需要在總體中先剔除1個個體,求樣本容量n. 【探究】總體容量為6+12+18=36（人）. 當樣本容量是n時,由題意知,系統(tǒng)抽樣的間隔為,分層抽樣的比例是,抽取工程師人數(shù)為6=人,技術(shù)員人數(shù)為12=人,技工人數(shù)為18=人,所以n應(yīng)是6的倍數(shù),36的約數(shù),即n=6,12,18,24. 當樣本容量為（n+1）時,總體容量是35人,系統(tǒng)抽樣的間隔為,因為必須是整數(shù), 所以n只能取6,即樣本容量n=6. 規(guī)律總結(jié) 抓住分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的特點是正確解題的關(guān)鍵. 案例3 某單位有老人28人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的身體狀況,從他們中抽取容量為36的樣本,最適合抽取樣本的方法是（ ） A.簡單隨機抽樣 B.系統(tǒng)抽樣 C.分層抽樣 D.先從老人中剔除1人,再用分層抽樣 【探究】解此問題的關(guān)鍵是結(jié)合三種抽樣方法進行比較,明確他們各自的特點. 【解析】總體總?cè)藬?shù)163人,樣本容量為36,由于總體由差異明顯的三部分組成,考慮用分層抽樣. 若按36∶163分配無法得到整解,故考慮先剔除1人,抽取比例變?yōu)?6∶162=2∶9,則依次為12、18、6.選D. 答案：D 規(guī)律總結(jié) 選擇抽樣方法過程中,應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的使用范圍和實際情況靈活使用各種抽樣方法.在現(xiàn)實生活中,由于資金、時間有限,人力、物力不足,加之不斷變化的環(huán)境條件,普查往往不可能,因此采取抽樣調(diào)查.在實際操作中,為了使樣本具有代表性,通常要同時使用幾種抽樣方法. 活學(xué)巧用 1.某地區(qū)為了解居民家庭生活狀況,先把居民按所在行業(yè)分為幾類,然后每個行業(yè)抽的居民家庭進行調(diào)查,這種抽樣是（ ） A.簡單隨機抽樣 B.系統(tǒng)抽樣 C.分層抽樣 D.分類抽樣 解析：因為居民按行業(yè)被分成幾層,而每層又按一定的比例抽取,這是分層抽樣的特點. 答案：C 2.某政府機關(guān)在編人員共100人,其中副處級以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上級部門為了了解該機關(guān)對政府機構(gòu)改革的意見,要從中抽取20人,用下列哪種方法最合適（ ） A.系統(tǒng)抽樣 B.簡單隨機抽樣 C.分層抽樣 D.隨機數(shù)表法 解析：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時,應(yīng)采用分層抽樣. 答案：C 3.下列問題應(yīng)采取何種抽樣方法？ （1）某小區(qū)有800戶家庭,其中高收入家庭有200戶,中等收入家庭480戶,低收入家庭120戶,為了了解有關(guān)家用轎車購買力的情況,從中抽取一個容量為100的樣本； （2）從10名學(xué)生中抽取3名參加座談會. 解析：（1）800戶家庭由于收入的高低不同,對于要調(diào)查的指標的影響不同,故應(yīng)當采用分層抽樣的方法. （2）總體中的個體數(shù)較少,采用簡單隨機抽樣的方法比較方便. 4.某企業(yè)共有3 000名職工,其中,中、青、老職工的比例為5∶3∶2,從所有職工中抽取一個樣本容量為400人的樣本,應(yīng)采用哪種抽樣方法更合理？且中、青、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？ 分析：因為總體由三類差異明顯的個體（中、青、老年）組成,所以應(yīng)采用分層抽樣的方法進行抽取. 解：由樣本容量為400,總體容量為3 200知,抽取的比例應(yīng)是=,而中、青、老年職工的比例是5∶3∶2,所以應(yīng)抽取中年職工為400=200（人）；青年職工為400=120(人)；老年職工為400=80(人). 5.某校有高中學(xué)生900人,高一年級300人,高二年級400人,高三年級200人,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為45人的樣本,問各年級應(yīng)抽取多少人？ 解析：易知,高一年級所占比例為,高二年級所占比例為,高三年級所占比例是,所以高一年級應(yīng)抽取45=15(人)；高二年級應(yīng)抽取45=20（人）,高三年級應(yīng)抽取45=10（人）. 6.選擇合適的抽樣方法抽樣,寫出抽樣過程. （1）有30個籃球,其中甲廠生產(chǎn)的有21個,乙廠生產(chǎn)的有9個,抽取10個入樣； （2）有甲廠生產(chǎn)的30個籃球,其中一箱21個,另一箱9個,抽取3個入樣； （3）有甲廠生產(chǎn)的300個籃球,抽取10個入樣； （4）有甲廠生產(chǎn)的300個籃球,抽取30個入樣. 解析：（1）總體由差異明顯的幾個層次組成,需選用分層抽樣法. 第一步：確定抽取個數(shù).=3,所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取=7個,乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取=3個； 第二步：用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球7個,乙廠生產(chǎn)的籃球3個,這些籃球便組成了我們要抽取的樣本. （2）總體容量較小,用抽簽法. 第一步：將30個籃球編號,編號為00,01,…,29； 第二步：將以上30個編號分別寫在一張小紙條上,揉成小球,制成號簽； 第三步：把號簽放入一個不透明的袋子中,充分攪勻； 第四步：從袋子中逐個抽取3個號簽,并記錄上面的號碼； 第五步：找出和所得號碼對應(yīng)的籃球. （3）總合格容量較大,樣本容量較小,宜用隨機數(shù)法. 第一步：將300個籃球用隨機方法編號編號為001,002,…,300； 第二步：在隨機數(shù)表中任意確定一個數(shù)作為開始,如從第8行第29列的數(shù)“7”開始,任選一個方向作為讀數(shù)方向,比如向右讀； 第三步：從數(shù)“7”開始向右讀,每次讀三位,凡不在001—300中的數(shù)跳過去不讀,遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀,便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281這10個號碼,這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼. （4）總體容量較大,樣本容量也較大,宜用系統(tǒng)抽樣法. 第一步：將300個籃球用隨機方式編號,編號為000,001,002,…,299,并分成30段； 第二步：在第一段000,001,002,…,009這十個編號中用簡單隨機抽樣抽出一個（如002）作為起始號碼； 第三步：將編號為002,012,022,…,292的個體抽出,組成樣本. 7.(xx湖北高考,文12理11)某初級中學(xué)有學(xué)生270人,其中一年級108人,二、三年級各81人,現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查,考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案,使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時,將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2,…,270；使用系統(tǒng)抽樣時,將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號為1,2,…,270,并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中,正確的是 …（ ） A.②③都不能為系統(tǒng)抽樣 B.②④都不能為分層抽樣 C.①④都可能為系統(tǒng)抽樣 D.①③都可能為分層抽樣 解析：由定義可知,①③為分層抽樣；②可能是簡單隨機抽樣,也可能是先分層,再在各層中采用簡單隨機抽樣；④為系統(tǒng)抽樣.故選D. 答案：D