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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七篇 不等式 第1講　不等關(guān)系與不等式教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 結(jié)合命題真假判斷、充要條件、大小比較等知識考查不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用，要弄清條件和結(jié)論，近幾年高考中多以小題出現(xiàn)，題目難度不大，復(fù)習(xí)時，應(yīng)抓好基本概念，少做偏難題． 基礎(chǔ)梳理 1．不等式的定義 在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號＞、＜、≥、≤、≠連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式． 2．比較兩個實數(shù)的大小 兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的，有a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.另外，若b＞0，則有＞1?a＞b；＝1?a＝b；＜1?a＜b. 3．不等式的性質(zhì) (1)對稱性：a＞b?b＜a； (2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c； (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥2)； (6)可開方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)． 一個技巧 作差法變形的技巧：作差法中變形是關(guān)鍵，常進(jìn)行因式分解或配方． 一種方法 待定系數(shù)法：求代數(shù)式的范圍時，先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式，再利用多項式相等的法則求出參數(shù)，最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍． 兩條常用性質(zhì) (1)倒數(shù)性質(zhì)： ①a＞b，ab＞0?＜； ②a＜0＜b?＜； ③a＞b＞0,0＜c＜d?＞； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜. (2)若a＞b＞0，m＞0，則 ①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： ＜；＞(b－m＞0)； ②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： ＞；＜(b－m＞0)． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)給出下列命題：①a＞b?ac2＞bc2；②a＞|b|?a2＞b2；③a＞b?a3＞b3；④|a|＞b?a2＞b2.其中正確的命題是(　　)． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析　當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，∴①不正確；a＞|b|≥0，a2＞|b|2＝b2，∴②正確；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)＞0，∴③正確；取a＝2，b＝－3，則|a|＞b，但a2＝4＜b2＝9，∴④不正確． 答案　B 2．限速40 km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h，寫成不等式就是(　　)． A．v＜40 km/h B．v＞40 km/h C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h 答案　D 3．(xx銀川質(zhì)檢)已知a，b，c∈R，則“a＞b”是“ac2＞bc2”的(　　)． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　a＞b /?ac2＞bc2，∵當(dāng)c2＝0時，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2?a＞b. 答案　B 4．已知a＞b，c＞d，且c，d不為0，那么下列不等式成立的是(　　)． A．a(chǎn)d＞bc B．a(chǎn)c＞bd C．a(chǎn)－c＞b－d D．a(chǎn)＋c＞b＋d 解析　由不等式性質(zhì)知：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d. 答案　D 5.與＋1的大小關(guān)系為________． 解析　－(＋1)＝(＋1)－(＋1)＝－＜0， ∴＜＋1. 答案?。迹?　　 考向一　比較大小 【例1】?已知a，b，c是實數(shù)，試比較a2＋b2＋c2與ab＋bc＋ca的大?。? [審題視點(diǎn)] 采用作差法比較，作差后構(gòu)造完全平方式即可． 解　∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 比較大小的方法常采用作差法與作商法，但題型為選擇題時可以用特殊值法來比較大?。? 【訓(xùn)練1】 已知a，b∈R且a＞b，則下列不等式中一定成立的是(　　)． A.＞1 B．a(chǎn)2＞b2 C．lg(a－b)＞0 D.a＜b 解析　令a＝2，b＝－1，則a＞b，＝－2，故＞1不成立，排除A；令a＝1，b＝－2，則a2＝1，b2＝4，故a2＞b2不成立，排除B；當(dāng)a－b在區(qū)間(0,1)內(nèi)時，lg(a－b)＜0，排除C；f(x)＝x在R上是減函數(shù)，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)． 答案　D 考向二　不等式的性質(zhì) 【例2】?(xx包頭模擬)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列命題：(1)ad＞bc；(2)＋＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a(d－c)＞b(d－c)中能成立的個數(shù)是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 [審題視點(diǎn)] 利用不等式的性質(zhì)說明正誤或舉反例說明真假． 解析　∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc， ∴(1)錯誤． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)， ∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，∴(2)正確． ∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，∴(3)正確． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正確，故選C. 答案　C 在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等． 【訓(xùn)練2】 已知三個不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③＞.以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　命題1：若ab＞0，＞，則bc＞ad； 命題2：若ab＞0，bc＞ad，則＞； 命題3：若＞，bc＞ad，則ab＞0. 答案　D 考向三　不等式性質(zhì)的應(yīng)用 【例3】?已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍． [審題視點(diǎn)] 可利用待定系數(shù)法尋找目標(biāo)式f(－2)與已知式f(－1)，f(1)之間的關(guān)系，即用f(－1)，f(1)整體表示f(－2)，再利用不等式的性質(zhì)求f(－2)的范圍． 解　f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b. 設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. ∴∴ ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10. 由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質(zhì)求得F(x，y)的取值范圍． 【訓(xùn)練3】 若α，β滿足試求α＋3β的取值范圍． 解　設(shè)α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 由解得 ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴兩式相加，得1≤α＋3β≤7. 考向四　利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式 【例4】?設(shè)a＞b＞c，求證：＋＋＞0. [審題視點(diǎn)] 充分運(yùn)用已知條件及不等式性質(zhì)進(jìn)行求證． 證明　∵a＞b＞c，∴－c＞－b. ∴a－c＞a－b＞0，∴＞＞0. ∴＋＞0.又b－c＞0，∴＞0. ＋＋＞0. (1)運(yùn)用不等式性質(zhì)解決問題時，必須注意性質(zhì)成立的條件． (2)同向不等式的可加性與可乘性可推廣到兩個以上的不等式． 【訓(xùn)練4】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0， 求證：＞. 證明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜＜. 又∵e＜0，∴＞.　　 難點(diǎn)突破15——數(shù)式大小比較問題 數(shù)式大小的比較是高考中最常見的一種命題方式，涉及的知識點(diǎn)和問題求解的方法不僅局限于不等式知識，而且更多的關(guān)聯(lián)到函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識，內(nèi)容豐富多彩．命題的方式主要是選擇題、填空題，考查不等式性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用． 一、作差法 【示例】? (xx陜西)設(shè)0＜a＜b，則下列不等式中正確的是(　　)． A．a(chǎn)＜b＜＜ B．a(chǎn)＜＜＜b C．a(chǎn)＜＜b＜ D.＜a＜＜b 二、作商法 【示例】? 若0＜x＜1，a＞0且a≠1，則|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小關(guān)系是 (　　)． A．|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| B．|loga(1－x)|＜|loga(1＋x)| C．不確定，由a的值決定 D．不確定，由x的值決定 三、中間量法 【示例】? 若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin，則(　　)． A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a