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2019-2020年高中數(shù)學第二章平面向量2.5.1平面幾何中的向量方法課時訓練含解析新人教A版必修 課時目標　經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力． 1．向量方法在幾何中的應用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(b≠0)?________?______________________. (2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：非零向量a，b，a⊥b?____________?______________. (3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|＝_______ 2．直線的方向向量和法向量 (1)直線y＝kx＋b的方向向量為________，法向量為________． (2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為________，法向量為________． 一、選擇題 1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，則BC邊的中線AD的長是(　　) A．2 B. C．3 D. 2．點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足＝＝，則點O是△ABC的(　　) A．三個內(nèi)角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三條高的交點 3．已知直線l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，則直線l1與l2的夾角是(　　) A．30 B．45 C．135 D．150 4．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 5．已知點A(，1)，B(0,0)，C(，0)，設∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　) A．2 B. C．－3 D．－ 6．已知非零向量與滿足＝0且＝，則△ABC的形狀是(　　) A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等邊)三角形 D．等邊三角形 題　號 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩 點M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為__________________． 8．已知平面上三點A、B、C滿足||＝3，||＝4，||＝5.則＋＋＝________________. 9．設平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知(＋－2)(－)＝0，則△ABC的形狀一定是__________． 10．在直角坐標系xOy中，已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且||＝2，則＝__________________. 三、解答題 11．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分線的方程． 12．P是正方形ABCD對角線BD上一點，PFCE為矩形．求證：PA＝EF且PA⊥EF. 能力提升 13．已知點O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，＝PB＝，則點O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 14．求證：△ABC的三條高線交于一點． 1．利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標系，求出題目中涉及到的向量的坐標．這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明． 2．在直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則(λ∈R且λ≠0)也是直線l的方向向量．所以，一條直線的方向向量有無數(shù)多個，它們都共線．同理，與直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直線l的法向量．一條直線的法向量也有無數(shù)多個．熟知以下結論，在解題時可以直接應用． ①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量為n＝(k，－1)． ②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)． 2.5　平面向量應用舉例 2．5.1　平面幾何中的向量方法 答案 知識梳理 1．(1)a＝λb　x1y2－x2y1＝0　(2)ab＝0　x1x2＋y1y2＝0(3)　　(4) 2．(1)(1，k)　(k，－1)　(2)(B，－A)　(A，B) 作業(yè)設計 1．B　[BC中點為D，＝， ∴||＝.] 2．D　[∵＝， ∴(－)＝0. ∴＝0. ∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O為垂心．] 3．B　[設l1、l2的方向向量為v1，v2，則 v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)， ∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝. ∴l(xiāng)1與l2的夾角為45.] 4．B　[∵|－|＝||＝|－|， |＋－2|＝|＋|， ∴|－|＝|＋|， ∴四邊形ABDC是矩形，且∠BAC＝90. ∴△ABC是直角三角形．] 5．C [如圖所示，由題知∠ABC＝30，∠AEC＝60，CE＝，∴＝3，∴＝－3.] 6．D　[由＝0，得角A的平分線垂直于BC.∴AB＝AC. 而＝cos〈，〉＝，又〈，〉∈[0，180]，∴∠BAC＝60. 故△ABC為正三角形，選D.] 7．2 解析　∵O是BC的中點， ∴＝(＋)＝＋， ∴＝－＝(－1)＋. 又∵＝－，∥， ∴存在實數(shù)λ，使得＝λ，即 化簡得m＋n＝2. 8．－25 解析　△ABC中，B＝90，cos A＝，cos C＝， ∴＝0，＝45＝－16， ＝53＝－9. ∴＋＋＝－25. 9．等腰三角形 解析　∵(＋－2)(－) ＝[(－)＋(－)](－) ＝(＋)(－)＝2－2 ＝||2－||2＝0， ∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形． 10. 解析　 已知A(0,1)，B(－3,4)， 設E(0,5)，D(－3,9)， ∴四邊形OBDE為菱形． ∴∠AOB的角平分線是菱形OBDE的對角線OD. 設C(x1，y1)，||＝3， ∴＝. ∴(x1，y1)＝(－3,9)＝， 即＝. 11．解?。?3,4)，＝(－8,6)， ∠A的平分線的一個方向向量為： ＋＝＋＝. ∵∠A的平分線過點A. ∴所求直線方程為－(x－4)－(y－1)＝0. 整理得：7x＋y－29＝0. 12．證明　以D為坐標原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，設正方形邊長為1，||＝λ，則A(0,1)， P，E，F(xiàn)， 于是＝，＝. ∴||＝＝， 同理||＝， ∴||＝||，∴PA＝EF. ∴＝＋＝0， ∴⊥.∴PA⊥EF. 13．C 　[如圖，∵＋＋＝0， ∴＋＝－.依向量加法的平行四邊形法則，知|N|＝2||，故點N為△ABC的重心． ∵＝， ∴(－)＝＝0. 同理＝0，＝0， ∴點P為△ABC的垂心． 由||＝||＝||，知點O為△ABC的外心．] 14．證明　 如圖所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三條高． 設BE，CF交于H點， 令＝b，＝c，＝h， 則＝h－b，＝h－c，＝c－b. ∵⊥，⊥， ∴(h－b)c＝0，(h－c)b＝0， 即(h－b)c＝(h－c)b 整理得h(c－b)＝0，∴＝0 ∴AH⊥BC，∴與共線． AD、BE、CF相交于一點H.