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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)、提分密碼 第五部分 數(shù)列 新人教版 一、 考試要求 ⑴理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義。了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。 ⑵理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前幾項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 ⑶理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 二、知識(shí)方法與技巧 1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出它的通項(xiàng)公式時(shí)，其通項(xiàng)公式不唯一. 例如：1，2，4，…….通項(xiàng)an=2n－1 或an= 1.數(shù)列通項(xiàng)公式an=f(n)，其圖象是y軸右側(cè)的坐標(biāo)為(n,an)的一系列孤立點(diǎn). 2.由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性與判斷函數(shù)的單調(diào)性方法基本是相同的，只需比較an與an+1的大小即可. ①利用遞推公式或者an與Sn的關(guān)系式解題時(shí)，一般要驗(yàn)證初始值n是否適合所求的式子，即an=； ②涉及an－1或Sn－1時(shí)，應(yīng)分n=1和n≥2兩種情況考慮； ③等比數(shù)列求和時(shí)，要考慮公比q是否為1. 3.若三數(shù)成等差數(shù)列，則可設(shè)三數(shù)為a－d,a,a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，則可設(shè),a,aq. 4.證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列（等比數(shù)列），必須根據(jù)等差數(shù)列（等比數(shù)列）的定義加以證明. 證明數(shù)列{an}不是等差數(shù)列（等比數(shù)列），只須說明a1,a2,a3不成等差數(shù)列（等比數(shù)列）即可. 5.數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件的幾種表示（即等差數(shù)列的判定方法）：①an+1－an=d(常數(shù))；②2an+1=an+an+2；③an=kn+b (k、b為常數(shù))，其中公差d=k.④Sn=An2+Bn. 數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件的幾種表示（即等比數(shù)列的判定方法）：①=q(常數(shù))；②an+12=anan+2；③an=aqn(aq≠0，且a、q為常數(shù)) 6.當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn方可表示為關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)的2倍就是公差. 11.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的方法：⑴可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求最值；⑵應(yīng)用以下結(jié)論：①當(dāng)公差d<0時(shí)，Sn最大an≥0且an+1≤0；②當(dāng)公差d>0時(shí)，Sn最小an≤0且an+1≥0.③利用f(n)=Sn的拋物線特征解小題(d≠0). 12.①等比數(shù)列的任一項(xiàng)及公比都不能為0；②常數(shù)數(shù)列不一定是等比數(shù)列；③G2=ab是a、G、b成等比數(shù)列的必要條件而非充分條件. 13.①若{an}是等差數(shù)列，則{}是等比數(shù)列(a≠0的常數(shù))； ②若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{logaan}是等差數(shù)列(a為常數(shù)). 14.求數(shù)列{an}的最值常見方法：①利用通項(xiàng)公式an的本身特征求解；②若{an}是單調(diào)數(shù)列，則可利用單調(diào)性求解；③若對(duì)一切n∈N*都有，an>0 (an<0)，則an最大；an最小. 15.求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，關(guān)鍵是根據(jù)通項(xiàng)an的特征，去尋求求和的方法，常見幾種方法：⑴通項(xiàng)裂項(xiàng)法；⑵錯(cuò)位相差法；⑶累加（累乘）法；⑷逆項(xiàng)相加法. 16.分期付款中，要弄清商品售價(jià)到貸款全部付清時(shí)增值到多少；各期所付款額到貸款全部付清時(shí)分別增值到多少；如何利用分期付款中的有關(guān)規(guī)定列出方程；解方程時(shí)，如何利用等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。 17.an=a1+(a2－a1)+(a3－a2)+…+(an－an－1)，an=a1…（an≠0） 等比中項(xiàng) 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng). 如果G是a與b的等比中項(xiàng)，那么=，即G2=ab，因此， G= G是a,b的等比中項(xiàng)的充要條件是G2=ab（或G=），其中ab>0，條件ab>0不能少，如果ab=0，a,b中至少有一個(gè)為0，那么a,g,b就不為等比數(shù)列，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這一點(diǎn)與等差中項(xiàng)不同. 一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外）是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。 2.等比數(shù)列性質(zhì) ⑴若首項(xiàng)a1>0，公比q>1，或首項(xiàng)a1<0，公比00，公比01，則數(shù)列為遞減數(shù)列；公比q=1，數(shù)列為常數(shù)列；公比q<0，數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，公比不等于零是一大特色. ⑵有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積相等，并且等于首末兩項(xiàng)之積；特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的平方，即： a1an=a2an－1=a3an－2=…=. ⑶若m,n,p,k∈N*，且m+n=p+k，則aman=apak，其中am，an，ap，ak是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，有aman= 類似于等差數(shù)列，在使用該性質(zhì)時(shí)，不僅應(yīng)注意等式兩邊下標(biāo)和相等，也應(yīng)要求等式兩邊作積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是一樣多的. ⑷若數(shù)列{an}與{bn}均為等比數(shù)列，則{manbn}與||仍為等比數(shù)列，其中m是不為零的常數(shù). ⑸等比數(shù)列{an}，通項(xiàng)公式an=a1qn－1=qn，則an可表示為an=cqn，其中C=，q為公比. ⑹等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(q≠1)，則Sn可表示為Sn=k－kqn，其中q為公比，q≠0，q≠1，k=. 等差中項(xiàng) 任意兩個(gè)數(shù)a,b有且只有一個(gè)等差中項(xiàng)，即A=. A=是a,A,b成等差數(shù)列的充要條件，因此，兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù). 在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外），都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng). 2、等差數(shù)列的性質(zhì) ⑴若公差d>0，則此數(shù)列為遞增數(shù)列；若d<0，則此數(shù)列為遞減數(shù)列；若d=0，則此數(shù)列為常數(shù)列. ⑵有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的2倍，即 a1+an=a2+an－1=a3+an－2=…=2a中 ⑶若m,n,p,k∈N*，且m+n=p+k，則am+an=ap+ak，其中am,an,ap,ak，是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，有am+an=2ap. 這條性質(zhì)，還可以推廣到有三項(xiàng)、四項(xiàng)……等情形，使用該性質(zhì)時(shí)，一要注意等式兩邊下標(biāo)和相等，二要注意等式兩邊和的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是一樣多的. ⑷在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列. ⑸等差數(shù)列中連續(xù)幾項(xiàng)之和構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列. ⑹若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m,k均為常數(shù). ⑺等差數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an=a1+(n－1)d=dn+(a1－d)，則an可表示為：an=kn+b，（其中k為等差數(shù)列的公差，它可以是任意實(shí)數(shù)）. ⑻等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=na1+(n－1)d=n2+(a1－)，則Sn表示為：Sn=an2+bn，其中a,b也可以是任意實(shí)數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為0是一大特色. 另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意： ⑼等差數(shù)列{an}中，若an=m，am=n，(m≠n)則am+n=0. ⑽等差數(shù)列{an}中，若Sn=m，Sm=n,（m≠n_，則Sm+n=－(m+n). ⑾等差數(shù)列{an}中，若Sn=Sm(m≠n)，則Sm+n=0. ⑿若{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn與，則. ⒀項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an}，有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)(an與an+1為中間的兩項(xiàng))；S偶－S奇=nd；.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)(2n－1)的等差數(shù)列{an}，有S2n－1=(2n－1)an(an為中間項(xiàng))；S奇－S偶=an；. S奇、S偶分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和. 等差數(shù)列{an}的一些性質(zhì) ⑴對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1－an=a2－a1 ⑵{an}的通項(xiàng)公式：an=(a2－a1)n+(2a1－a2) ⑶對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r、s，如果p+q=r+s，則ap+aq=ar+as ⑷對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r，如果p+r=2q，則有ap+ar=2aq ⑸對(duì)于任意正整數(shù)n>1，有2an=an－1+an+1 ⑹對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b，數(shù)列{ban}是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列 ⑺已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則{anbn}也是等差數(shù)列 ⑻{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差數(shù)列 ⑼S3m=3(S2m－Sm). ⑽若Sn=Sm (m≠n)，則Sm+n=0 ⑾若Sp=q，Sq=p，則Sp+q=－(p+q) (p≠q) ⑿Sn=an2+bn，反之亦成立. 等比數(shù)列 ⑴定義：=q (常數(shù)q為公比)⑵通項(xiàng)公式：an=a1qn－1 ⑶前n項(xiàng)和公式Sn=⑷通項(xiàng)公式推廣：an=amqn－m 等比數(shù)列{an}的一些性質(zhì) ⑴對(duì)于任意正整數(shù)n，均有 ⑵對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r、s，只要滿足p+q=r+s，則apaq=aras ⑶對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r，如果p+r=2q，則apar= ⑷對(duì)任意正整數(shù)n>1，有=an－1an+1 ⑸對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b，{ban}也是等比數(shù)列 ⑹已知{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列