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2019-2020年高考數學一輪復習 12.1 抽樣方法與總體分布的估計教案 ●網絡體系總覽 ●考點目標定位 1.了解簡單隨機抽樣、分層抽樣及系統(tǒng)抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進行抽樣. 2.會用樣本頻率分布估計總體分布. 3.會用樣本估計總體平均值和方差. ●復習方略指南 在本章的復習中，要理解幾種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系.應充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率統(tǒng)計中處理問題的基本思想方法，掌握所學的概率統(tǒng)計知識的實際應用. 這部分內容高考命題趨向主要以選擇題、填空題為主，重點考查基礎知識、基本概念及其簡單的應用. 對有關概率統(tǒng)計的應用題要多加關注. 12.1 抽樣方法與總體分布的估計 ●知識梳理 1.簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個體數為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣. 2.分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣. 3.兩種抽樣方法的比較（略）. 4.總體：在數理統(tǒng)計中，通常把被研究的對象的全體叫做總體. 5.頻率分布：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的基本思想方法，樣本中所有數據（或數據組）的頻數和樣本容量的比，就是該數據的頻率.所有數據（或數據組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示. 6.總體分布：從總體中抽取一個個體，就是一次隨機試驗，從總體中抽取一個容量為n的樣本，就是進行了n次試驗，試驗連同所出現的結果叫隨機事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布. ●點擊雙基 1.為調查參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽查了100名運動員的年齡，就這個問題來說，下列說法正確的是 A.1000名運動員是總體 B.每個運動員是個體 C.抽取的100名運動員是樣本 D.樣本容量是100 解析：這個問題我們研究的是運動員的年齡情況.因此應選D. 答案：D 2.一個總體中共有10個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為3的樣本，則某特定個體入樣的概率是 A. B. C. D. 解析：用簡單隨機抽樣法從中抽取，則每個個體被抽到的概率都相同為，所以選C. 答案：C 3.一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某數的頻數和頻率分別為40、0.125，則n的值為 A.640 B.320 C.240 D.160 解析：∵=0.125，∴n=320.故選B. 答案：B 4.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個容量為36的樣本，在簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種方法中較合適的抽樣方法是___________. 解析：要研究的總體里各部分情況差異較大，因此用分層抽樣. 答案：分層抽樣 5.某班學生在一次數學考試中成績分布如下表： 分數段 ［0，80） ［80，90） ［90，100） 人數 2 ） 5 6 分數段 ［100，110） ［110，120 ［120，130） 人數 8 12 6 分數段 ［130，140） ［140，150） 人數 4 2 那么分數在［100，110）中的頻率和分數不滿110分的累積頻率分別是______________、_______（精確到0.01）. 解析：由頻率計算方法知：總人數=45. 分數在［100，110）中的頻率為 =0.178≈0.18. 分數不滿110分的累積頻率為=≈0.47. 答案：0.18 0.47 ●典例剖析 【例1】 （xx年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調查產品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調查其銷售收入和售后服務情況，記這項調查為②.則完成①、②這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是 A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 剖析：此題為抽樣方法的選取問題.當總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較少時，宜采用隨機抽樣. 依據題意，第①項調查應采用分層抽樣法、第②項調查應采用簡單隨機抽樣法.故選B. 答案：B 評述：采用什么樣的抽樣方法要依據研究的總體中的個體情況來定. 【例2】 （xx年福建，15）一個總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數字與m+k的個位數字相同.若m=6，則在第7組中抽取的號碼是___________. 剖析：此問題總體中個體的個數較多，因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可. ∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小組中抽取的號碼是63. 答案：63 評述：當總體中個體個數較多而差異又不大時可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內抽取時應按規(guī)則進行. 【例3】 把容量為100的某個樣本數據分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數成公比大于2的整數等比數列，則剩下三組中頻數最高的一組的頻數為___________. 剖析：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問題，因此應先求出后三組的頻率之和為1－0.79=0.21，進而求出后三組的共有頻數，或者先求前七組共有頻數后，再計算后三組的共有頻數. 由已知知前七組的累積頻數為0.79100=79，故后三組共有的頻數為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21.∴a1=1，q=4.∴后三組頻數最高的一組的頻數為16. 答案：16 評述：此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來解嗎？ 【例4】 對某電子元件進行壽命追蹤調查，情況如下： 壽命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 個 數 20 30 80 40 30 （1）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖； （3）估計電子元件壽命在100～400 h以內的概率； （4）估計電子元件壽命在400 h以上的概率. 剖析：通過本題可掌握總體分布估計的各種方法和步驟. 解：（1）頻率分布表如下： 壽命（h） 頻 數 頻 率 累積頻率 100～200 20 0.10 0.10 200～300 30 0.15 0.25 300～400 80 0.40 0.65 400～500 40 0.20 0.85 500～600 30 0.15 1 合 計 200 1 （2）頻率分布直方圖如下： （3）由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100～400 h內的電子元件出現的頻率為0.65，所以我們估計電子元件壽命在100～400 h內的概率為0.65. （4）由頻率分布表可知，壽命在400 h以上的電子元件出現的頻率為0.20+0.15=0.35，故我們估計電子元件壽命在400 h以上的概率為0.35. 評述：畫頻率分布條形圖、直方圖時要注意縱、橫坐標軸的意義. ●闖關訓練 夯實基礎 1.（xx年江蘇，6）某校為了了解學生的課外閱讀情況，隨機調查了50名學生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數據，結果用下面的條形圖表示，根據條形圖可得這50名學生這一天平均每人的課外閱讀時間為 A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h 解析：=0.9. 答案：B 2.某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上的人，用分層抽樣法從中抽取20人，各年齡段分別抽取的人數為 A.7，5，8 B.9，5，6 C.6，5，9 D.8，5，7 解析：45=45=9，25=5，30=6. 答案：B 3.某單位共有N個職工，要從N個職工中采用分層抽樣法抽取n個樣本，已知該單位的某一部門有M個員工，那么從這一部門中抽取的職工數為___________. 答案： 4.下圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據圖形中的數據填空： （1）樣本數據落在范圍［6，10）內的頻率為___________； （2）樣本數據落在范圍［10，14）內的頻數為___________； （3）總體在范圍［2，6）內的概率約為___________. 答案：（1）0.32 （2）36 （3）0.08 5.舉例說明簡單隨機抽樣和分層抽樣兩種抽樣方法，無論使用哪一種抽樣方法，總體中的每一個個體被抽到的概率都相等. 解：袋中有160個小球，其中紅球48個，藍球64個，白球16個，黃球32個，從中抽取20個作為一個樣本. （1）使用簡單隨機抽樣：每個個體被抽到的概率為=. （2）使用分層抽樣：四種球的個數比為3∶4∶1∶2.紅球應抽20=6個；藍球應抽20=8個；白球應抽20=2個；黃球應抽20=4個.由于====，所以，按顏色區(qū)分，每個球被抽到的概率也都是. 培養(yǎng)能力 6.某工廠生產的產品，可分為一等品、二等品、三等品三類，根據抽樣檢驗的記錄有一等品54個、二等品140個、三等品6個. （1）估計三種產品的概率； （2）畫出頻率分布條形圖. 解：（1）0.27，0.7，0.03. （2）頻率分布條形圖如下. 7.有點難度喲！ 某縣政府機關在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級人事部門為了了解職工對機構改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試說明具體實施辦法，并證明用這種抽樣方法可使總體中每個個體被抽到的概率相等. 解：因機構改革關系到所有人的利益，故采用分層抽樣方法較宜. ∵=，∴10=2，70=14，20=4. 故從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人.副處級以上干部被抽到的概率為=，一般干部被抽到的概率為=，工人被抽到的概率為=，即每個個體被抽到的概率都是=. 8.有點難度喲！ 從一個養(yǎng)魚池中捕得m條魚，作上記號后再放入池中，數日后又捕得n條魚，其中k條有記號，請估計池中有多少條魚. 解：設池中有N條魚，第一次捕得m條作上記號后放入水池中，則池中有記號的魚占；第二次捕得n條，則這n條魚是一個樣本，其中有記號的魚占.我們用樣本來估計總體分布，令=，∴N=. 探究創(chuàng)新 9.有點難度喲！ 1936年，美國進行總統(tǒng)選舉，競選的是民主黨的羅斯福和共和黨的蘭登，羅斯福是在任的總統(tǒng). 美國權威的《文學摘要》雜志社，為了預測總統(tǒng)候選人誰能當選，采用了大規(guī)模的模擬選舉，他們以電話簿上的地址和俱樂部成員名單上的地址發(fā)出1000萬封信，收到回信200萬封，在調查史上，樣本容量這么大是少見的，雜志社花費了大量的人力和物力，他們相信自己的調查統(tǒng)計結果，即蘭登將以57%對43%的比例獲勝，并大力進行宣傳. 最后選舉結果卻是羅斯福以62%對38%的巨大優(yōu)勢獲勝，連任總統(tǒng).這個調查使《文學摘要》雜志社威信掃地，不久只得關門?？?試分析這次調查失敗的原因. 解：失敗的原因：抽樣方法不正確.樣本不是從總體（全體美國公民）中隨機地抽取，1936年，美國有私人電話和參加俱樂部的家庭，都是比較富裕的家庭.1929～1933年的世界經濟危機，使美國經濟遭到沉重打擊，“羅斯福新政”動用行政手段干預市場經濟，損害了部分富人的利益，但廣大的美國人民卻從中得到了好處.所以，從這部分富人中抽取的樣本嚴重偏離了總體，導致樣本不具有代表性. ●思悟小結 1.采用什么抽樣方法，要視情況來定： 當總體中的個體較少時，一般可用隨機抽樣；當總體中的個體較多時，一般可用系統(tǒng)抽樣；當總體由差異明顯的幾部分組成時，一般可用分層抽樣. 2.用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法.用樣本估計總體，本節(jié)主要研究在整體上用樣本的頻率分布估計總體的分布. ●教師下載中心 教學點睛 1.常用的抽樣方法有三種：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣，其中第一種是最簡單、最基本的抽樣方法.三種抽樣方法的共同點：都是等概率抽樣，體現了抽樣的公平性；三種抽樣方法各有其特點和適用的范圍. 2.總體分布反映了總體在各個范圍內取值的概率.當總體中所取不同數值比較少時，常用條形圖表示相應樣本的頻率分布；否則，常用頻率分布直方圖表示相應樣本的頻率分布. 3.系統(tǒng)抽樣的步驟：（1）將總體中的個體隨機編號；（2）將編號分段；（3）在第1段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；（4）按照事先研究的規(guī)則抽取樣本. 4.分層抽樣的步驟：（1）分層；（2）按比例確定每層抽取個體的個數；（3）各層抽樣（方法可以不同）；（4）匯合成樣本. 5.解決總體分布估計問題的一般程序如下：（1）先確定分組的組數（最大數據與最小數據之差除以組距得組數）；（2）分別計算各組的頻數及頻率（頻率=）；（3）畫出頻率分布直方圖，并作出相應的估計. 6.條形圖是用其高度表示取各值的頻率；直方圖是用圖形面積的大小表示在各區(qū)間內取值的頻率；累積頻率分布圖是一條折線，利用任意兩端值的累積頻率之差表示樣本數據在這兩點值之間的頻率. 拓展題例 【例1】 （xx年遼寧省重點高中模擬題）用系統(tǒng)抽樣法要從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生隨機地從1～160編號，按編號順序平均分成20組（1～8號，9～16號，…，153～160號），若第16組抽出的號碼為126，則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是___________. 解析：不妨設在第1組中隨機抽到的號碼為x，則在第16組中應抽出的號碼為120+x. 設第1組抽出的號碼為x，則第16組應抽出的號碼是815+x=126，∴x=6. 答案：6 【例2】 （xx年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市模擬題）某單位有職工160名，其中業(yè)務人員120名，管理人員16名，后勤人員24名.為了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本.若用分層抽樣的方法，抽取的業(yè)務人員、管理人員、后勤人員的人數應分別為____________. 解析：分層抽樣應按各層所占的比例從總體中抽取. ∵120∶16∶24=15∶2∶3，又共抽出20人， ∴各層抽取人數分別為20=15人，20=2人，20=3人. 答案：15人、2人、3人