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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.1 函數(shù)的概念教案 ●網(wǎng)絡(luò)體系總覽 ●考點目標(biāo)定位 1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念. 2.了解函數(shù)的單調(diào)性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法. 3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù). 4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì). 5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì). 6.能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題. ●復(fù)習(xí)方略指南 基本函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，它們的圖象與性質(zhì)是函數(shù)的基石.求反函數(shù)，判斷、證明與應(yīng)用函數(shù)的三大特性（單調(diào)性、奇偶性、周期性）是高考命題的切入點，有單一考查（如全國xx年第2題），也有綜合考查（如江蘇xx年第22題）.函數(shù)的圖象、圖象的變換是高考熱點（如全國xx年Ⅳ，北京xx年春季理2），應(yīng)用函數(shù)知識解其他問題，特別是解應(yīng)用題能很好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，這類問題在高考中具有較強的生存力.配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論等，這些方法構(gòu)成了函數(shù)這一章應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性和思維的創(chuàng)造性，這均符合高考試題改革的發(fā)展趨勢. 特別在“函數(shù)”這一章中，數(shù)形結(jié)合的思想比比皆是，深刻理解和靈活運用這一思想方法，不僅會給解題帶來方便，而且這正是充分把握住了中學(xué)數(shù)學(xué)的精髓和靈魂的體現(xiàn). 復(fù)習(xí)本章要注意： 1.深刻理解一些基本函數(shù)，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對數(shù)與形的基本關(guān)系能相互轉(zhuǎn)化. 2.掌握函數(shù)圖象的基本變換，如平移、翻轉(zhuǎn)、對稱等. 3.二次函數(shù)是初中、高中的結(jié)合點，應(yīng)引起重視，復(fù)習(xí)時要適當(dāng)加深加寬.二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有著密切的聯(lián)系，要溝通這些知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運用它們?nèi)ソ鉀Q有關(guān)問題. 4.含參數(shù)函數(shù)的討論是函數(shù)問題中的難點及重點，復(fù)習(xí)時應(yīng)適當(dāng)加強這方面的訓(xùn)練，做到條理清楚、分類明確、不重不漏. 5.利用函數(shù)知識解應(yīng)用題是高考重點，應(yīng)引起重視. 2.1 函數(shù)的概念 ●知識梳理 1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x叫做自變量.x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域. 2.兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應(yīng)法則f.當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù). 3.映射的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B. 由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集. 特別提示 函數(shù)定義的三要素是理解函數(shù)概念的關(guān)鍵，用映射的觀點理解函數(shù)概念是對函數(shù)概念的深化. ●點擊雙基 1.設(shè)集合A=R，集合B=正實數(shù)集，則從集合A到集合B的映射f只可能是 A.f:x→y=|x| B.f:x→y= C.f:x→y=3－x D.f:x→y=log2（1+|x|） 解析：指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3－x. 答案：C 2.設(shè)M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函數(shù)f（x）的定義域為M，值域為N，則f（x）的圖象可以是 解析：A項定義域為［－2，0］，D項值域不是［0，2］，C項對任一x都有兩個y與之對應(yīng)，都不符.故選B. 答案：B 3.（xx年全國Ⅰ，理2）已知函數(shù)f（x）=lg，若f（a）=b，則f（－a）等于 A.b B.－b C. D.－ 解析：f（－a）=lg=－lg=－f（a）=－b. 【答案】 B 4.（xx年全國Ⅲ，理5）函數(shù)y=的定義域是 A.［－，－1）∪（1，］ B.（－，－1）∪（1，） C.［－2，－1）∪（1，2］ D.（－2，－1）∪（1，2） 解析：－≤x＜－1或1＜x≤.∴y=的定義域為［－，－1）∪（1，］. 答案：A 5.（xx年浙江，文9）若函數(shù)f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是［0，1］，則a等于 A. B. C. D.2 解析：f（x）=loga（x+1）的定義域是［0，1］，∴0≤x≤1，則1≤x+1≤2. 當(dāng)a＞1時，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2； 當(dāng)0＜a＜1時，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，與值域是［0，1］矛盾. 綜上，a=2. 答案：D ●典例剖析 【例1】 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？ （1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）= （3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）； （4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1. 剖析：對于兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對應(yīng)法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù).若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然. 解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù). （2）由于函數(shù)f（x）=的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù). （3）由于當(dāng)n∈N*時，2n1為奇數(shù)，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù). （4）由于函數(shù)f（x）=的定義域為{x|x≥0}，而g（x）=的定義域為{x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù). （5）函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù). 評述：（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透.要知道，在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對于函數(shù)本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù). （2）對于兩個函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù). 【例2】 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個數(shù)是__________，從B到A的映射個數(shù)是__________. 剖析：從A到B可分兩步進行：第一步A中的元素3可有3種對應(yīng)方法（可對應(yīng)5或6或7），第二步A中的元素4也有這3種對應(yīng)方法.由乘法原理，不同的映射種數(shù)N1＝33＝9.反之從B到A，道理相同，有N2＝222＝8種不同映射. 答案：9 8 深化拓展 設(shè)集合A中含有4個元素，B中含有3個元素，現(xiàn)建立從A到B的映射f:A→B，且使B中每個元素在A中都有原象，則這樣的映射有___________________個. 提示：因為集合A中有4個元素，集合B中有3個元素，根據(jù)題意，A中必須有2個元素有同一個象，因此，共有CA=36個映射. 答案：36 【例3】 （xx年廣東，19）設(shè)函數(shù)f（x）=|1－|（x＞0），證明：當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，ab＞1. 剖析一：f（a）=f（b）|1－|=|1－|（1－）2=（1－）22ab=a+b≥2ab＞1. 證明：略. 剖析二：f（x）= 證明：f（x）在（0，1］上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù).由0＜a＜b且f（a）= f（b），得0＜a＜1＜b且－1=1－，即+=2a+b=2ab≥2ab＞1. 評注：證法一、證法二是去絕對值符號的兩種基本方法. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實基礎(chǔ) 1.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，則在映射f下，象20的原象是 A.2 B.3 C.4 D.5 解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知選C. 答案：C 2.某種型號的手機自投放市場以來，經(jīng)過兩次降價，單價由原來的xx元降到1280元，則這種手機平均每次降價的百分率是 A.10% B.15% C.18% D.20% 解析：設(shè)降價百分率為x%， ∴xx（1－x%）2=1280.解得x=20. 答案：D 3.（xx年全國Ⅲ，理11）設(shè)函數(shù)f（x）=則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為 A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 解析：f（x）是分段函數(shù)，故f（x）≥1應(yīng)分段求解. 當(dāng)x＜1時，f（x）≥1（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1. 當(dāng)x≥1時，f（x）≥14－≥1≤3x≤10，∴1≤x≤10. 綜上所述，x≤－2或0≤x≤10. 答案：A 4.（xx年浙江，文13）已知f（x）=則不等式xf（x）+x≤2的解集是___________________. 解析：x≥0時，f（x）=1， xf（x）+x≤2x≤1，∴0≤x≤1； 當(dāng)x＜0時，f（x）=0， xf（x）+x≤2x≤2，∴x＜0.綜上x≤1. 答案：{x|x≤1} 5.（xx年全國Ⅳ，文）已知函數(shù)y=logx與y=kx的圖象有公共點A，且A點的橫坐標(biāo)為2，則k的值等于 A.－ B. C.－ D. 解析：由點A在y=logx的圖象上可求出A點縱坐標(biāo)y=log2=－.又A（2，－）在y=kx圖象上，－=k2，∴k=－. 答案：A 培養(yǎng)能力 6.如下圖，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點（起點）向A點（終點）移動，設(shè)P點移動的路程為x，△ABP的面積為y=f（x）. （1）求△ABP的面積與P移動的路程間的函數(shù)關(guān)系式； （2）作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值. 解：（1）這個函數(shù)的定義域為（0，12）. 當(dāng)0＜x≤4時，S=f（x）=4x=2x； 當(dāng)4＜x≤8時，S=f（x）=8； 當(dāng)8＜x＜12時，S=f（x）=4（12－x）=2（12－x）=24－2x. ∴這個函數(shù)的解析式為f（x）= （2）其圖形為 由圖知，［f（x）］max=8. 7.若f :y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B. 解：∵f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知（1）或（2） ∵a∈N，∴方程組（1）無解. 解方程組（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}. 8.如果函數(shù)f（x）=（x+a）3對任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），試求f（2）+ f（－2）的值. 解：∵對任意x∈R，總有f（1+x）=－f（1－x）， ∴當(dāng)x=0時應(yīng)有f（1+0）=－f（1－0）， 即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0. 又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3. 故有（1+a）3＝0a=－1.∴f（x）=（x－1）3. ∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26. 探究創(chuàng)新 9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N滿足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的個數(shù)是多少？ 解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0， ∴有0+0+0=0+1+（－1）=0. 當(dāng)f（a）=f（b）=f（c）=0時，只有一個映射； 當(dāng)f（a）、f（b）、f（c）中恰有一個為0，而另兩個分別為1，－1時，有CA=6個映射.因此所求的映射的個數(shù)為1+6=7. 評述：本題考查了映射的概念和分類討論的思想. ●思悟小結(jié) 1.本節(jié)重點內(nèi)容是函數(shù)概念、定義域、值域，難點是映射及其意義. 2.理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點： （1）集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的，是一個系統(tǒng)； （2）對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的； （3）集合A中每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)的本質(zhì)特征； （4）集合A中不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個； （5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象. 3.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的非常重要的部分，如沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域為使得函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍，即分式中分母應(yīng)不等于0；偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0；對數(shù)式中，真數(shù)必須大于0，底數(shù)必須大于0且不等于1……實際問題中還需考慮自變量的實際意義.若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應(yīng)集合的交集. ●教師下載中心 教學(xué)點睛 1.復(fù)習(xí)本節(jié)時，教師應(yīng)先指導(dǎo)學(xué)生看課本，并對課本上的重要知識點歸納總結(jié)，對課本上的典型例題、典型習(xí)題要讓學(xué)生再做，并注重一題多解、一題多變. 2.畫分段函數(shù)的圖象，求分段函數(shù)的定義域、值域是本節(jié)的一個難點.教學(xué)時，要指導(dǎo)學(xué)生按x的特點分好段，并向?qū)W生指明分段函數(shù)其實是一個函數(shù)，只是由于該函數(shù)在自變量取值的各個階段其對應(yīng)關(guān)系不一樣才以分段式給出，因此它的定義域、值域應(yīng)是各階段相應(yīng)集合的并集. 拓展題例 【例1】 設(shè)f（x）是定義在（－∞，+∞）上的函數(shù)，對一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，當(dāng)－1＜x≤1時，f（x）=2x－1，求當(dāng)1＜x≤3時，函數(shù)f（x）的解析式. 解：設(shè)1＜x≤3，則－1＜x－2≤1，又對任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1時，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）. 評述：將1＜x≤3轉(zhuǎn)化成－1＜x－2≤1，再利用已知條件是解本題的關(guān)鍵. 【例2】 設(shè)m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在區(qū)間［－2，2］上變化時，m值恒正，求x的取值范圍. 解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得 ① 或 ② 在①中，（log2x－1）+t＞0對于t∈［－2，2］恒成立時，應(yīng)有l(wèi)og2x－1＞2，即x＞8； 在②中，（log2x－1）+t＜0對于t∈［－2，2］恒成立時，應(yīng)有l(wèi)og2x－1＜－2，即0＜ x＜. 綜上，得x＞8或0＜x＜. 評述：本題還可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］關(guān)于變量t的圖象是直線，要t∈［－2，2］時m值恒正，只要t=－2和2時m的值恒正，即有 ∴l(xiāng)og2x＞3或log2x＜－1. ∴x＞8或0＜x＜.