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2019-2020年高考數學一輪復習 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 第3講　幾何概型教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 以選擇題或填空題的形式考查與長度或面積有關的幾何概型的求法是高考對本內容的熱點考法，特別是與平面幾何、函數等結合的幾何概型是高考的重點內容．新課標高考對幾何概型的要求較低，因此高考試卷中此類試題以低、中檔題為主． 【復習指導】 本講復習時，準確理解幾何概型的意義、構造出度量區(qū)域是用幾何概型求隨機事件概率的關鍵，復習時要多反思和多領悟，掌握方法要領．同時要加強與平面區(qū)域、空間幾何體、平面向量、函數結合等方面的訓練． 基礎梳理 1．幾何概型 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關．滿足以上條件的試驗稱為幾何概型． 2．幾何概型中，事件A的概率計算公式 P(A)＝. 3．要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中，可能出現的結果有無限多個； (2)等可能性：每個結果的發(fā)生具有等可能性． 一條規(guī)律 對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法． 兩種類型 (1)線型幾何概型：當基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時． (2)面型幾何概型：當基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)在線段[0,3]上任投一點，則此點坐標小于1的概率為(　　)． A. B. C. D．1 解析　點坐標小于1的區(qū)間長度為1，故所求其概率為. 答案　B 2．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當某人到達路口時看見的是紅燈的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　以時間的長短進行度量，故P＝＝. 答案　B 3．(xx衡陽模擬)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是(　　)． 解析　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)． 答案　A 4.某人隨機地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內部投針(不包括三角形邊界及圓的邊界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為(　　)． A. B. C. D．以上全錯 解析　設正三角形邊長為a，則外接圓半徑r＝a＝a， ∴所求概率P＝＝. 答案　B 5．在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數x，則x∈[0,1]的概率為________． 解析　如圖，這是一個長度型的幾何概型題，所求概率P＝＝. 答案　　 考向一　與長度有關的幾何概型 【例1】?點A為周長等于3的圓周上的一個定點．若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為________． [審題視點] 用劣弧的長度與圓周長的比值． 解析　 如右圖，設A、M、N為圓周的三等分點，當B點取在優(yōu)弧上時，對劣弧來說，其長度小于1，故其概率為. 答案　 將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解． 【訓練1】 一只螞蟻在三邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為________． 解析　如圖，該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的長度為：1＋2＋3＝6，故所求概率為P＝＝. 答案　 考向二　與面積有關的幾何概型 【例2】?(xx華東師大附中模擬)設有關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個數中任取的一個數，b是從0,1,2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率． [審題視點] (1)為古典概型，利用列舉法求概率． (2)建立ab平面直角坐標系，將問題轉化為與面積有關的幾何概型． 解　設事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”． 當a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構成事件A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率為P(A)＝＝. 數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，利用公式可求． 【訓練2】 (xx福建)如圖， 矩形ABCD中，點E為邊CD的中點．若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　S△ABE＝|AB||AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|. 故所求概率P＝＝. 答案　C 考向三　與角度、體積有關的幾何概型 【例3】?在Rt△ABC中，∠A＝30，過直角頂點C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率． [審題視點] 如圖所示， 因為過一點作射線是均勻的，因而應把在∠ACB內作射線CM看做是等可能的，基本事件是射線CM落在∠ACB內任一處，使|AM|＞|AC|的概率只與∠BCC′的大小有關，這符合幾何概型的條件． 解　設事件D為“作射線CM，使|AM|＞|AC|”．在AB上取點C′使|AC′|＝|AC|，因為△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝＝75， μA＝90－75＝15，μΩ＝90， 所以P(D)＝＝. 幾何概型的關鍵是選擇“測度”，如本例以角度為“測度”．因為射線CM落在∠ACB內的任意位置是等可能的．若以長度為“測度”，就是錯誤的，因為M在AB上的落點不是等可能的． 【訓練3】 (xx長沙模擬)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 解析　點P到點O的距離大于1的點位于以O為球心，以1為半徑的半球外．記點P到點O的距離大于1為事件A，則P(A)＝＝1－. 答案　1－ 　　 規(guī)范解答21——如何解決概率與函數的綜合問題 【問題研究】 所謂概率，就是某種事件發(fā)生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常見的例子，也可以是有關的數學問題，如以函數的基本性質(定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性)為背景，設置概型，提出問題，考查考生綜合分析問題、解決問題的能力. 【解決方案】 首先認真閱讀題目，把其中的有用信息向我們熟悉的知識方面轉化，實現知識的遷移，然后再利用概率的知識去解決. 【示例】? (本題滿分12分)(xx濰坊模擬)已知關于x的二次函數f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)設集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數的概率； (2)設點(a，b)是區(qū)域內的一點， 求函數y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數的概率． 本題以“二次函數的單調性”為背景，首先寫出事件發(fā)生所滿足的條件，在第(1)問中，給出了有限個數據，從而判斷是古典概型問題，利用列舉法寫出事件發(fā)生的總數以及滿足條件的事件發(fā)生的個數，再利用公式求之；第(2)問中，a和b有無限個數據，所以是幾何概型問題，首先計算事件發(fā)生的總數與滿足條件的事件發(fā)生的個數的測度，再利用公式求之． [解答示范] (1)∵函數f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為直線x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數，當且僅當a＞0且≤1，即2b≤a.(2分) 若a＝1，則b＝－1； 若a＝2，則b＝－1或1； 若a＝3，則b＝－1或1. ∴事件包含基本事件的個數是1＋2＋2＝5.(5分) ∴所求事件的概率為＝.(6分) (2)由(1)，知當且僅當2b≤a且a＞0時， 函數f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數，(8分) 依條件可知事件的全部結果所構成的區(qū)域為 ，構成所求事件的區(qū)域為三角形部分． 由得交點坐標為，(10分) ∴所求事件的概率為P＝＝.(12分) 本題中先將f(x)在[1，＋∞)上為增函數轉化為滿足條件2b≤a且a＞0，然后再聯系已知條件，將問題轉化為幾何概型，實現了知識的逐步遷移，這種轉化遷移的思想值得考生注意，另外，對于二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在某一區(qū)間[m，＋∞)上單調遞增的充要條件是 切勿漏掉a＞0. 【試一試】 已知關于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0. (1)若a，b是一枚骰子擲兩次所得到的點數，求方程有兩正根的概率； (2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程沒有實根的概率． [嘗試解答]　(1)基本事件(a，b)共有36個，方程有正根等價于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0， 即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16. 設“方程有兩個正根”為事件A，則事件A包含的基本事件為(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4個， 故所求的概率為P(A)＝＝. (2)試驗的全部結果構成區(qū)域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}， 其面積為S(Ω)＝16， 設“方程無實根”為事件B，則構成事件B的區(qū)域為 B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}， 其面積為S(B)＝π42＝4π， 故所求的概率為P(B)＝＝