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2019-2020年高中數(shù)學選修本(理科)導數(shù)的概念--瞬時速度 ●教學目標 (一)教學知識點 物體在時刻t的瞬時速度的概念. (二)能力訓練要求 1.掌握用極限給瞬時速度下的精確的定義. 2.會運用瞬時速度的定義，求物體在某一時刻的瞬時速度． 3.理解足夠小、足夠短的含義. (三)德育滲透目標 1.培養(yǎng)學生解決實際問題的能力. 2.平均速度與瞬時速度是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的，培養(yǎng)學生聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的思想． 3.培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度. ●教學重點 知道了物體的運動規(guī)律，用極限來定義物體的瞬時速度，學會求物體的瞬時速度. ●教學難點 理解物體的瞬時速度的定義. ●教學方法 啟發(fā)式 由高中物理上給瞬時速度下的定義，以及進行直觀的描述，如何利用已學過的極限知識，進行精確地刻劃呢？讓學生自己根據(jù)極限的定義，來定義物體的瞬時速度. ●教學過程 Ⅰ.課題導入 ［師］我們物理中學習直線運動的速度時，已經(jīng)學習了物體的瞬時速度的有關(guān)知識，現(xiàn)在我們從數(shù)學的角度重新來認識一下瞬時速度. Ⅱ.講授新課 ［師］物理課本上瞬時速度是如何定義的？ ［生］運動物體經(jīng)過某一時刻(某一位置)的速度，叫做瞬時速度. ［師］那怎么來理解瞬時速度？物理課本上有具體的闡述嗎？ ［生］有，要確定物體在某一點A處的瞬時速度，從A點起取一小段位移AA1，求出物體在這段位移上的平均速度，這個平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過A點的瞬時速度. ［師］那一小段的位移AA1，有什么要求嗎？是不是越小越好？ ［生］是越小越好，當位移足夠小時，物體在這段時間內(nèi)運動可認為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過A點的瞬時速度了. ［師］我們現(xiàn)在已經(jīng)了解了一些關(guān)于瞬時速度的知識，現(xiàn)在已經(jīng)知道物體做直線運動時，它的運動規(guī)律用函數(shù)表示為s=s(t)，也叫做物體的運動方程或位移公式，現(xiàn)在有兩個時刻t0，t0+Δt，現(xiàn)在問從t0到t0+Δt這段時間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是多少？ ［生］位移為s(t0+Δt)－s(t0) 平均速度為 (一邊講一邊老師板書) ［師］根據(jù)對瞬時速度的直觀描述，當位移足夠小，現(xiàn)在位移由時間t來表示，也就是說時間足夠短時，平均速度就等于瞬時速度.怎么來刻劃時間足夠短呢？現(xiàn)在是從t0到t0+ Δt，這段時間是Δt. ［生］時間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0. ［師］當Δt→0時，平均速度就越接近于瞬時速度，用極限如何表示瞬時速度呢？ ［生］. ［師］所以當Δt→0時，平均速度的極限就是瞬時速度. ［板書］s=s(t). 從t0到t0+Δt的位移(位置增量) Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt稱時間增量) 平均速度 瞬時速度 ［師］下面我們用具體的例子來驗證，比較一下. ［板書］物體自由落體的運動方程s=s(t)=gt2，其中位移單位m，時間單位s，g=9.8 m/s2. 求t=3這一時段的速度. 解：取一小段時間［3，3+Δt］ 位置改變量Δs=g(3+Δt)2－g32=(6+Δt)Δt 平均速度g(6+Δt) 瞬時速度 由勻變速直線運動的速度公式得v=v0+at=gt=g3=3g=29.4 m/s (用兩種方法算結(jié)論是相同的) ［板書］ 1.物體的瞬時速度 如果物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Δt這段時間內(nèi)，當Δt→0時平均速度的極限，即 v=. 2.例題 已知質(zhì)點M按規(guī)律s=2t2+3做直線運動，(位移單位：cm，時間單位：s)，(1)當t=2， Δt=0.01時，求. (2)當t=2，Δt=0.001時，求. (3)求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度. ［師生共析］Δs即位移的改變量，Δt即時間的改變量，即平均速度，當Δt越小，求出的越接近某時刻的速度. ［學生板演］ 解：∵=4t+2Δt ∴(1)當t=2，Δt=0.01時， =42+20.01=8.02 cm/s (2)當t=2，Δt=0.001時， =42+20.001=8.002 cm/s (3)v=(4t+2Δt)=4t=42=8 cm/s ［師］當t=2，Δt=－0.01，Δt=－0.001…時，的值會怎樣？ (板書) 的值也趨近于t=2時的瞬時速度8. ∴Δt→0時=8 Ⅲ.課堂練習 1.一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是s=s(t)=t2(位移單位：m，時間單位：s)，求小球在t=5時的瞬時速度，并與運用勻變速直線運動速度公式求得的結(jié)果進行比較. ［分析］要運用勻變速直線運動速度公式v=v0+at，首先要求出初速度v0與加速度a，可以根據(jù)運動方程來求，自由滾下，v0=0， ∵s=t2，∴a=1，a=2. 解：①瞬時速度v=(10+Δt)=10 m/s. ②∵球沿斜面自由滾下，∴v0=0 m/s ∵a=1，∴a=2 m/s2 ∴瞬時速度v=2t=25=10 m/s ∴用兩種方法求得的結(jié)果相同. 2.質(zhì)點M按規(guī)律s=2t2+3做直線運動(位移單位：cm，時間單位：s)，求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度，并與運用勻變速直線運動速度公式求得的結(jié)果進行比較. 解：①瞬時速度v= =(8+2Δt)=8 cm/s ②∵s=2t2+3=s0+v0t+at2 ∴v0=0 cm/s ∵a=2， ∴a=4 cm/s2 ∴瞬時速度v=4t=42=8 cm/s. ∴用兩種方法求得的結(jié)果相同. ［師］求瞬時速度，也就轉(zhuǎn)化為求極限，瞬時速度我們是通過在一段時間內(nèi)的平均速度的極限來定義的，只要知道了物體的運動方程，代入公式就可以求出瞬時速度了，而要運用勻變速直線運動速度公式就要運用一些物理中的一些簡單的知識了.運用數(shù)學工具來解決物理方面的問題，是不是方便多了.所以數(shù)學是用來解決其他一些學科，比如物理、化學等方面問題的一種工具，我們這一節(jié)課學的內(nèi)容以及上一節(jié)課學的是我們學習導數(shù)的一些實際背景. Ⅳ.課時小結(jié) ［師］這節(jié)課主要學習了什么？要記住什么？ ［生］這節(jié)課主要學習了物體運動的瞬時速度的概念，它是用平均速度的極限來定義的，主要記住公式瞬時速度 v= Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本，P116，習題3.1 1、2 (二)1.預習內(nèi)容：課本P113~114，3.導數(shù)的概念 2.預習提綱： (1)導數(shù)的概念、記法. (2)求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的方法. (3)導函數(shù)的概念. (4)導數(shù)與連續(xù)的關(guān)系. ●板書設(shè)計 導數(shù)的概念--瞬時速度 s=s(t). 從t0到t0+Δt的位移. 平均速度. 瞬時速度. 物體自由落體運動. ①列表，極限求瞬時速度. ②由勻變速直線運動的速度公式求物體的瞬時速度概念： 例題 已知質(zhì)點M按規(guī)律s=2t2+3做直線運動， (1)當t=2，Δt=0.01，求，(2)當t=2， Δt=0.001，求，(3)求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度. 課堂練習 1.一球沿一斜面自由滾下，其運動方程s=s(t)=t2(m/s)，求小球在t=5時的瞬時速度. 并用勻變速直線運動速度公式求得的結(jié)果進行比較. 2.質(zhì)點M按規(guī)律s=2t2+3做直線運動(cm/s)求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度，并用勻變速直線運動速度公式求得的結(jié)果進行比較. 課后作業(yè)