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2019-2020年高中數(shù)學 3.3《三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教案（2） 湘教版必修2 教學目的： 1理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義； 2會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間； 3掌握正弦函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法 教學重點：正、余弦函數(shù)的性質(zhì) 教學難點：正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應用 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1． 正弦線、余弦線：設任意角α的終邊與單位圓相交于點P(x，y)，過P作x軸的垂線，垂足為M，則有 ， 向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線． 2．用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象（幾何法）： 把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的圖象，沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動，每次移動的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線． 3．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點法）： 正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是： (0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0) （1）y=cosx, xR與函數(shù)y=sin(x+) xR的圖象相同 （2）將y=sinx的圖象向左平移即得y=cosx的圖象 y x o 1 -1 （3）也同樣可用五點法作圖：y=cosx x[0,2p]的五個點關鍵是 (0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1) 4．用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象解最簡單的三角不等式 二、講解新課： (1)定義域： 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R［或(－∞，＋∞)］， 分別記作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R (2)值域 因為正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即 －1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［－1，1］ 其中正弦函數(shù)y=sinx,x∈R ①當且僅當x＝＋2kπ，k∈Z時，取得最大值1 ②當且僅當x＝－＋2kπ，k∈Z時，取得最小值－1 而余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R ①當且僅當x＝2kπ，k∈Z時，取得最大值1 ②當且僅當x＝(2k＋1)π，k∈Z時，取得最小值－1 (3)周期性 由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知： 正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復地取得的 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個函數(shù)的周期 對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期 注意： 1周期函數(shù)x定義域M，則必有x+TM, 且若T>0則定義域無上界；T<0則定義域無下界； 2“每一個值”只要有一個反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x0+t)f (x0)） 3T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期） 根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π (4)奇偶性 由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx 可知：y＝sinx為奇函數(shù) y＝cosx為偶函數(shù) ∴正弦曲線關于原點O對稱,余弦曲線關于y軸對稱 (5)單調(diào)性 從y＝sinx， x∈［－］的圖象上可看出： 當x∈［－，］時，曲線逐漸上升，sinx的值由－1增大到1 當x∈［，］時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1 結(jié)合上述周期性可知： 正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1 余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1 三、講解范例： 例1 求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么 (1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R 解：(1)使函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝ 函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2 (2)令Z＝2x，那么x∈R必須并且只需Z∈R，且使函數(shù)y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝ 由2x＝Z＝＋2kπ， 得x＝＋kπ 即 使函數(shù)y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝ 函數(shù)y＝sin2x，x∈R的最大值是1 例2求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝1+ (2)y＝ 解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1 即x≠＋2kπ(k∈Z) ∴原函數(shù)的定義域為｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝ (2)由cosx≥0得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z) ∴原函數(shù)的定義域為［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z) 例3求函數(shù)y＝－cosx的單調(diào)區(qū)間 解：由y＝－cosx的圖象可知： 單調(diào)增區(qū)間為［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z) 單調(diào)減區(qū)間為［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z) 例4求下列三角函數(shù)的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+) 解：1 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)=f (z) f [(x+2p)+ ]=f (x+) ∴周期T=2p 2令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos[2(x+p)] 即：f (x+p)=f (x) ∴周期T=p 3令z=+ 則 f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(++2p)=3sin()=f (x+4p) ∴周期T=4p 四、課堂練習： 1．求下列函數(shù)的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 3 y=2sinxcosx+2cos2x-1 解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期T1=p y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2= ∴T為T1 ,T2的最小公倍數(shù)2p ∴T=2p 2 T=p 3 y=sin2x+cos2x ∴T=p 2． 直接寫出下列函數(shù)的定義域、值域： 1 y= 2 y= 解：1當x2kp- kZ時函數(shù)有意義，值域:[+∞] 2 x[2kp+, 2kp+] (kZ)時有意義, 值域[0, ] 3． 求下列函數(shù)的最值： 1 y=sin(3x+)-1 2 y=sin2x-4sinx+5 3 y= 解：1 當3x+=2kp+即 x= (kZ)時ymax=0 當3x+=2kp-即x= (kZ)時ymin=-2 2 y=(sinx-2)2+1 ∴當x=2kp- kZ時ymax=10 當x=2kp- kZ時ymin= 2 3 y=-1+ 當x=2kp+p kZ時 ymax=2 當x=2kp kZ時 ymin= 4．函數(shù)y=ksinx+b的最大值為2, 最小值為-4，求k,b的值 解：當k>0時 當k<0時 （矛盾舍去） ∴k=3 b=-1 5．求下列函數(shù)的定義域： 1 y= 2 y=lg(2sinx+1)+ 3 y= 解：1 ∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴≤cosx≤1 ∴定義域為：[2kp-, 2kp+] (kZ) 2 ∴定義域為： 3 ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2kp-≤x≤2kp+ (kZ) ∵-1≤sinx≤1 ∴xR ≤y≤1 五、小結(jié) 正、余弦函數(shù)的性質(zhì)、以及性質(zhì)的簡單應用，解決一些相關問題 六、課后作業(yè)： 七、板書設計（略） 八、課后記：