2019-2020年高中數(shù)學 推理與證明 板塊三 數(shù)學歸納法完整講義(學生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學 推理與證明 板塊三 數(shù)學歸納法完整講義(學生版) 典例分析 題型一:數(shù)學歸納法基礎 【例1】 已知n為正偶數(shù),用數(shù)學歸納法證明時,若已假設為偶數(shù))時命題為真,則還需要用歸納假設再證 ( ) A.時等式成立 B.時等式成立 C.時等式成立 D.時等式成立 【例2】 已知n是正偶數(shù),用數(shù)學歸納法證明時,若已假設n=k(且為偶數(shù))時命題為真,,則還需證明( ) A.n=k+1時命題成立 B. n=k+2時命題成立 C. n=2k+2時命題成立 D. n=2(k+2)時命題成立 【例3】 某個命題與正整數(shù)n有關,如果當時命題成立,那么可推得當時命題也成立. 現(xiàn)已知當時該命題不成立,那么可推得 ( ) A.當n=6時該命題不成立 B.當n=6時該命題成立 C.當n=8時該命題不成立 D.當n=8時該命題成立 【例4】 利用數(shù)學歸納法證明 “ ”時,從“”變到“”時,左邊應增乘的因式是 ( ) A B C D 【例5】 用數(shù)學歸納法證明,在驗證n=1時,左邊計算所得的式子是( ) A. 1 B. C. D. 【例6】 用數(shù)學歸納法證明,從“k到k+1”左端需乘的代數(shù)式是( ) A.2k+1 B. C. D. 【例7】 用數(shù)學歸納法證明:1+++時,在第二步證明從n=k到n=k+1成立時,左邊增加的項數(shù)是( ) A. B. C. D. 【例8】 設,用數(shù)學歸納法證明“”時,第一步要證的等式是 【例9】 用數(shù)學歸納法證明“”()時,從 “到”時,左邊應增添的式子是__ __。 【例10】 用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中,由k推導到k+1時,不等式左邊增加的式子是 【例11】 是否存在常數(shù)是等式對一切成立?證明你的結論。 題型二:證明整除問題 【例12】 若存在正整數(shù),使得能被整除,則= 【例13】 證明:能被整除 【例14】 已知數(shù)列滿足,當時,. 求證:數(shù)列的第項能被3整除. 【例15】 用數(shù)學歸納法證明:能被9整除. 【例16】 設是任意正整數(shù),求證:能被6整除. 【例17】 用數(shù)學歸納法證明:對于一切正整數(shù),能被264整除. 【例18】 (n≥4且n∈N*)個正數(shù)排成一個n行n列的數(shù)陣: 第1列 第2列 第3列 …… 第n列 第1行 …… 第2行 …… …… …… …… …… …… …… 第n行 …… 其中(1≤i≤n,1≤k≤n,且i,k∈N)表示該數(shù)陣中位于第i行第k列的數(shù).已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成公比為2的等比數(shù)列,且=8,=20. (Ⅰ)求和; (Ⅱ)設,證明:當n為3的倍數(shù)時,()能被21整除. 題型三:證明恒等式與不等式 【例19】 證明不等式() 【例20】 用數(shù)學歸納法證明:,. 【例21】 證明:,. 【例22】 用數(shù)學歸納法證明:. 【例23】 是否存在常數(shù)a、b、c,使等式對一切正整數(shù)n都成立?證明你的結論 【例24】 在數(shù)列中,, (1)寫出;(2)求數(shù)列的通項公式 【例25】 用數(shù)學歸納法證明: 【例26】 用數(shù)學歸納法證明: (Ⅰ); (Ⅱ) ; 【例27】 對于的自然數(shù),證明:. 【例28】 已知,求證:對任意大于1的自然數(shù),. 題型四:數(shù)列中的數(shù)學歸納法 【例29】 設均為正數(shù),且,求證:當n≥2的時候, ≥ 【例30】 已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式. 【例31】 在數(shù)列中,,是它的前項和,當時,成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項公式. 【例32】 設整數(shù)數(shù)列滿足,,,且.證明:任意正整數(shù), 是一個整數(shù)的平方. 【例33】 由正實數(shù)組成的數(shù)列滿足:.證明:對任意,都有. 【例34】 實數(shù)數(shù)列定義如下,已知 ⑴證明:對任意,; ⑵問有多少個不同的,使得. 【例35】 兩個實數(shù)數(shù)列、滿足:, 證明:時,. 【例36】 在數(shù)列中,若它的前項和. ⑴計算的值; ⑵猜想的表達式,并用數(shù)學歸納法證明你的結論. 【例37】 已知函數(shù),設數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足,.用數(shù)學歸納法證明. 【例38】 設數(shù)列,,……中的每一項都不為.證明:為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何,都有. 題型五:其他類型題 【例39】 已知函數(shù),滿足條件:①;② ; ③ ;④當時,有. (1) 求,的值; (2) 由,,的值,猜想的解析式; (3) 證明你猜想的的解析式的正確性. 【例40】 數(shù)列, (Ⅰ)是否存在常數(shù),使得數(shù)列是等比數(shù)列,若存在求 的值,若不存在,說明理由。 (Ⅱ)設 ,求證:時, 【例41】 已知數(shù)列滿足:,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)設,試求數(shù)列的通項公式; (Ⅲ)對于任意的正整數(shù),試討論與的大小關系.- 配套講稿:
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