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2019-2020年高中數(shù)學 第31課時《用二分法求方程的近似解》（學生版 ）蘇教版必修1 【學習導航】 知識網(wǎng)絡(luò) 學習要求 1．通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應用； 2．能借助計算器用二分法求方程的近似解； 3．體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一． 自學評價 1．二分法 對于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 2．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下： 聽課隨筆 （1）確定區(qū)間，驗證，給定精度； （2）求區(qū)間的中點； （3）計算： ①若=，則就是函數(shù)的零點； ② 若<，則令=（此時零點）； ③若<，則令=（此時零點）； （4）判斷是否達到精度：即若，則得到零點值（或）；否則重復步驟2~4． 【精典范例】 例1：利用計算器，求方程的一個近似解（精確到0.1）． 【解】設(shè)， 先畫出函數(shù)圖象的簡圖. (如右圖所示) 因為 ， 所以在區(qū)間內(nèi)，方程有一解，記為.取與的平均數(shù)，因為 ， 所以 . 再取與的平均數(shù)，因為， 所以 . 如此繼續(xù)下去，得 ，因為與精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為 . 利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個近似解. 點評:①第一步確定零點所在的大致區(qū)間，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通常可確定一個長度為1的區(qū)間； ②建議列表樣式如下： 零點所在區(qū)間 區(qū)間中點函數(shù)值 區(qū)間長度 1 0.5 0.25 0.125 如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步． 例2：利用計算器，求方程的近似解（精確到0.1）． 分析：分別畫函數(shù)和 的圖象，在兩個函數(shù)圖象的交點處，函數(shù)值相等．因此，這個點的橫坐標就是方程的解．由函數(shù)與的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程有惟一解，記為，并且這個解在區(qū)間內(nèi). 【解】設(shè)，利用計算器計算得 聽課隨筆 因為與精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為 . 思考:發(fā)現(xiàn)計算的結(jié)果約穩(wěn)定在.這實際上是求方程近似解的另一種方法——迭代法． 除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法還有牛頓切線法、弦切法等． 例3：利用計算器，求方程的近似解（精確到0.1）． 【解】方程 可以化為． 分別畫函數(shù) 與的圖象，由圖象可以知道，方程的解在區(qū)間內(nèi)，那么對于區(qū)間，利用二分法就可以求得它的近似解為. 追蹤訓練一 1. 設(shè)是方程的解，則所在的區(qū)間為 （ ） A． B． C． D． 2. 估算方程的正根所在的區(qū)間是 （ ） A． B． C． D． 3．計算器求得方程的負根所在的區(qū)間是（ ） A．（，0） B． C． D． 4.利用計算器,求下列方程的近似解(精確到) (1) (2) 【選修延伸】 一、含字母系數(shù)的二次函數(shù)問題 例4：二次函數(shù)中實數(shù)、、滿足，其中，求證： （1）)； （2）方程在內(nèi)恒有解． 分析：本題的巧妙之處在于，第一小題提供了有益的依據(jù)：是區(qū)間 內(nèi)的數(shù)，且，這就啟發(fā)我們把區(qū)間 劃分為(，)和（，）來處理． 【解】（1） ， 由于是二次函數(shù),故，又，所以，． ⑵ 由題意，得, ． ①當時，由（1）知 聽課隨筆 若，則，又,所以 在（，）內(nèi)有解． 若，則 聽課隨筆 ，又，所以在（,）內(nèi)有解． ②當時同理可證． 點評：（1）題目點明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項系數(shù)．若將題中的“二次”兩個字去掉，所證結(jié)論相應更改． （2）對字母、分類時先對哪個分類是有一定講究的，本題的證明中，先對分類，然后對分類顯然是比較好． 追蹤訓練二 1．若方程在內(nèi)恰有一則實數(shù)的取值范圍是 ( ) A． B． C． D． 2.方程的兩個根分別在區(qū)間和內(nèi)，則的取值范圍是 ； 3．已知函數(shù)，在上存在，使，則實數(shù)的取值范圍是____ ____________． 4．已知函數(shù) ⑴試求函數(shù)的零點； ⑵是否存在自然數(shù)，使？若存在，求出，若不存在，請說明理由．